Question

高等数学，等价无穷小问题？

x趋于0时，在减法里，为什么xcosx-sinx不可以等价成xcosx-x，而e的x次方-1可以等价成x？

Answer 1

当x趋近于0时，xcosx-sinx不能简化为xcosx-x，因为它们并不是等价的。事实上，它们的差异在于sinx中包含了x的一次项，而cosx不包含。
我们可以将xcosx-sinx写成xcosx-(x-xcosxsinx)的形式，这样就可以将x的一次项与其余项分开。然后，我们可以继续简化表达式，得到:
xcosx-sinx=x(cosx-1)+xsinx=(cosx-1)/x+sinx
当x趋近于0时，(cosx-1)/x趋近于0，而sinx趋近于
sin(0)=0。因此，xcosx-sinx趋近于0。
另一方面，当x趋近于0时，e^x-1可以近似地表示为x。这是因为，我们可以使用泰勒级数展开e^x：
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...
因此，当x趋近于0时，e^x的值非常接近1+x。因此，e^x-1可以近似表示为x。注意，这种近似只在x非常接近于0时成立，对于其他值可能不准确。

Answer 2

这就不得不提一个概念：无穷小的阶数。
同样的无穷小，阶数不同，比值的极限会不同。
因此不能随意舍弃高阶的无穷小。
比如，x 趋于 0 时，单纯的求 xcosx-sinx 的极限，完全可以用 x 替换 sinx，1 替换 cosx ！！
但求 (xcosx-sinx)/x^3 的极限时，就不能用 x 替换 sinx，因为要与 x^3 比较，
所以必须用 x-x^3/6 替换 sinx 。同理也必须用 1-x^2/2 替换 cosx 。
至于 e^x-1 等价于 x 的问题，也不能一概而论。
总之，无穷小替换要恰到好处，阶数高了没用，阶数低了出错。