Question

∫3x²sinxdx÷x∧4的极限是多少？

Answer 1

方法如下，请作参考：

若有帮助，
请采纳。

追答

方法如下，请作参考：

若有帮助，请采纳。

Answer 2

默认为求x趋于0时的极限
则该极限为0/0型，考虑洛必达：
lim∫3x^2sinxdx/x∧4
=lim3x^2sinx/4x^3
=3/4limsinx/x
=3/4
最后一步用了等价无穷小，x~sinx

Answer 3

首先，将被积函数展开：
∫(3x²sinx dx) / x⁴ = 3 ∫(x²sinx dx) / x⁴
接下来，将 x²sinx 展开为级数（幂级数）：
x²sinx = x²(x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...)
然后，将级数代入积分中：
3 ∫(x²sinx dx) / x⁴ = 3 ∫(x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...) / x⁴ dx
化简分子并进行积分运算：
= 3 ∫(1/x³ - 1/(3!x) + 1/(5!x³) - 1/(7!x⁵) + ...) dx
对每一项分别进行积分，注意到 ∫(1/xⁿ dx) = -1 / (n-1) * x⁻ⁿ⁻¹，其中 n ≠ 1：
= 3 (-1 / (2x²) + 1/(3!)(ln|x|) - 1/(5!)(1/(2x⁴)) + 1/(7!)(1/(4x⁶)) - ... ) + C
简化得：
= -3 / (2x²) + ln|x| / 2! - 1/(3!)(1/(2x⁴)) + 1/(5!)(1/(4x⁶)) - ...
然后，计算极限，当 x 趋向于无穷大时：
lim (x→∞) (-3 / (2x²) + ln|x| / 2! - 1/(3!)(1/(2x⁴)) + 1/(5!)(1/(4x⁶)) - ...)
在极限中，除了第一项 -3 / (2x²) 的系数，其他所有项的系数都含有 1/x 的幂，而 1/x 的幂在极限趋向于无穷大时都会趋近于 0。因此，我们可以忽略除第一项外的所有项。
因此，极限的结果为：
lim (x→∞) (-3 / (2x²)) = 0
所以，∫(3x²sinx dx) / x⁴ 的极限为 0。