Question

椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1长轴两个端点为AB，如果椭圆上存在一点Q，使角AQB=120°，求椭圆的离心率e的取值范

需要详细计算讨论步骤
离心率e的取值范围.需要详细计算讨论步骤

Answer 1

设角AQB为k，Q（m，n）由对称性，只用考虑n大于等于0的情况
有m^2/a^2+n^2/b^2=1,m^2=a^2-a^2*n^2/b^2……*

对三角形AQB面积，有两种算法，以此建立等式：

(1/2)*AQ*BQ*sink=(1/2)*AB*n

两边约去12，再平方代入m，n得到：
[(m+a)^2+n^2]*[(m-a)^2+n^2]*(sink)^2=4a^2*n^2
[(m^2-a^2)^2+n^2(2m^2+2a^2)+n^4](sink)^2=4a^2*n^2

再将*式代入，消去m,有
[(a^2-b^2)m^2+4a^2*b^4](sink)^2=4a^2*b^4

将k＝120度代入，化为关于m的二次式：
0<m^2=(4/3)*a^2*b^4/(a^2-b^2)^2<=b^2{<=表示小于等于}
（因为m的范围是0到b）左边大于0显然成立
再将b^2用a^2-c^2代替
4a^2*(a^2-c^2)<=3c^4
3c^4+4a^2c^2-4a^4>=0
两边同除a^4
3e^4+4e^2-4>=0
2/3=<e^2<1
所以e属于[根号下2/3,1)