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一、选择题（每题3分，共33分）
1、抛物线 的对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、抛物线 的顶点坐标是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、二次函数 的图象如图所示，则（ ）
A、 ， B、 ，
C、 ， D、 ，
4、如图，在 中，点 在 上， ，垂足为点 ，若 ， ，则 的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、给出下列命题：
①平行四边形的对角线互相平分；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形。其中真命题的个数为（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
6、给出下列函数：① ；② ；③ ；④ 。其中， 随 的增大而减小的函数是（ ）
A、①② B、①③ C、②④ D、②③④
7、已知一次函数 与 ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
8、如图， 是不等边三角形， ，以点 、 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与 全等，这样的三角形可以作出（ ）
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
9、二次函数 的图象如图所示，那么下列四个结论：① ；② ；③ ；④ 中，正确的结论有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
10、如图，在梯形 中， ‖ ， ， ， ， ，则此梯形的面积是（ ）
A、24 B、20 C、16 D、12
11、如图，线段 、 相交于点 ，欲使四边形 成为等腰梯形，应满足的条件是（ ）
A、 ， B、 ， ，
C、 ， D、 ，
二、填空题（每题3分，共30分）
12、如图，点 是正 和正 的中心，且 ‖ ，则 =_______。
13、某次数学测验满分为100（单位：分），某班的平均成绩为75，方差为10。若把每位同学的成绩按满分120进行换算，则换算后的平均成绩与方差分别是_________。
14、李好在六月月连续几天同一时刻观察电表显示的度数，记录如下：
日期 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 … 30号
电表显示（度） 120 123 127 132 138 141 145 148 …
估计李好家六月份总月电量是___________。
15、将正方形 的一个顶点与正方形 的对角线交叉重合，如图⑴位置，则阴影部分面积是正方形 面积的 ，将正方形 与 按图⑵放置，则阴影部分面积是正方形 面积的____________。
16、抛物线 的顶点关于 轴对称的点的坐标为_________。
17、在 中， ， 是斜边 上的中线，将 沿直线 折叠，点 落在点 处，如果 恰好与 垂直，那么 等于________度。
18、已知 是 的角平分线，点 、 分别是边 、 的中点，连结 、 ，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形 成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________。
19、下列四个图形中，图①是长方形，图②、③、④是正方形。把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积是 ，则 _________，图④的面积 _________，则 ________ （填“>”“=”或“<”）。
20、已知方程 （ ， ， 是常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式，则函数表达式为______________，成立的条件是________，是_____________函数。
21、如图，在平行四边形 中，点 、 在对角线 上，且 。请你以点 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）。
⑴连结：___________；
⑵猜想：___________=__________；
⑶证明：______________。
三、解答题（22～26题每题6分，27题7分，共37分）
22、如图，矩形 中，点 是 与 的交点，过点 的直线与 、 的延长线分别交于点 、 。
⑴求证： ；
⑵当 与 满足什么条件时，四边形 是菱形？并证明你的结论。
23、如图， 是 的弦， 切 于点 ， ， 交 于点 ，点 为弧 的中点，连结 ，在不添加辅助线的情况下，
⑴找出图中存在的全等三角形，并给出证明；
⑵图中存在你所学过的特殊四边形吗？如果存在，请你找出来并给出证明。
24、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形 上，并使它的直角顶点 在对角线 上滑动，直角的一边始终经过点 ，另一边与射线 相交于点 。
探究：设 、 两点间的距离为 。
⑴当点 在 上时，线段 与线段 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图⑴）。
⑵当点 在边 上时，设四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图⑵）。
⑶当点 在线段 上滑动时， 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使 成为等腰三角形的点 的位置，并求出相应的 的值；如果不可能，试说明理由（如图⑶）。（图⑷、图⑸、图⑹的的形状、大小相同，图⑷供操作、实验用，图⑸和图⑹备用）
25、如图，已知四边形 中，点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，并且点 、 、 、 有在同一条直线上。
求证： 和 互相平分。
26、已知：抛物线 与 轴的一个交点为 。
⑴求抛物线与 轴的另一个交点 的坐标。
⑵点 是抛物线与 轴的交点，点 是抛物线上的一点，且以 为一底的梯形 的面积为9，求此抛物线的解析式。
⑶点 是第二象限内到 轴、 轴的距离的比为5：2的点，如果点 在⑵中的抛物线上，且它与点 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 的周长最小？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
27、在平面直角坐标系中（单位长度：1cm）， 、 两点的坐标分别为 ， ，点 从点 开始以2cm/s的速度沿折线 运动，同时点 从点 开始以1cm/s的速度沿折线 运动。
⑴在运动开始后的每一时刻一定存在以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形吗？如果存在，那么以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形相似吗？以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗？请分别说明理由。
⑵试判断 时，以点 为圆心， 为半径的圆与以点 为圆心、 半径的圆的位置关系；除此之外 与 还有其他位置关系吗？如果有，请求出 的取值范围。
⑶请你选定某一时刻，求出经过三点 、 、 的抛物线的解析式。
参考答案与提示
1、A 2、D 3、A 4、D 5、B 6、D 7、C 8、B 9、D 10、A 11、D 12、60° 13、90 14、4 120度 15、
16、 17、30 18、 ， ， 等 19、 = 20、 二次 21、⑴ ⑵ ⑶ 四边形 为平行四边形， ， ‖ 。 ，在 和 中， ， 。
22、⑴ 在矩形 中有 ‖ ， ， 。又 ， 。
⑵当 与 垂直时，四边形 是菱形。 ， ，又 ， 四边形 是平行四边形。又 ， 四边形 是菱形。
23、⑴ 。证明： ， 。 为 的切线， 。 。又 ， 。又 ，即 。 。在 和 中， ， ， ， 。
⑵存在，它们分别为平行四边形 和梯形 。证明： ， ， ‖ ， ‖ 。 四边形 是平行四边形。又 与 相交， 四边形 为梯形。
24、⑴ ，证明：过点 作 ‖ ，分别交 于点 ，交 于点 ，则四边形 和四边形 都是矩形， 和 都是等腰三角形（如图⑴）。 ， ， 。而 ， 。又 ， ， 。
⑵由⑴知 ，得 。 ，
， ， ， ，
，
，即 。
⑶ 可能成为等腰三角形。①当点 与点 重合，点 与点 重合，这时 ， 是等腰三角形，此时 ；②当点 在边 的延长线上，且 时， 是等腰三角形（如图3），此时， ， ， ， ，当 时，得 。
25、连结 、 、 、 。点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点。在 中， ；在 中， ， 。 四边形 为平行四边形。 与 互相平分。
26、⑴依题意，抛物线的对称轴为 。 抛物线与 轴的一个交点为 ， 由抛物线的对称性，可得抛物线与 轴的另一个交点 的坐标为 。
⑵ 抛物线 与 轴的一个交点为 ， 。 ， ， ， 点 的坐标为 。又梯形 中， ‖ ，且点 在抛物线 上， 点 的坐标为 。 梯形 的面积为9，又 ， ， ， ， ， 所求抛物线的解析式为 或 。
⑶设点 的坐标为 ，依题意， ， ，且 ， 。
①设点 在抛物线 上，则 。解方程组 得 ， ， 点 与点 在对称轴 的同侧， 点 的坐标为 。设在抛物线的对称轴 上存在一点 ，使 的周长最小。 长为定值， 要使 的周长最小，只需 最小。 点 关于对称轴 的对称点是 ， 由几何知识可知，点 是直线 与对称轴 的交点。设过点 、 的直线的解析式为 ，则 ，解得 ， 直线 的解析式为 ，把 代入上式，得 ， 点 的坐标为 。
②设点 在抛物线 上，则 。解方程组 消去 ，得 ， ， 此方程无实数根。综上所述，在抛物线的对称轴上存在点 ，使 的周长最小。
27、⑴①不一定。例如：当 时，点 、 、 与点 、 、 都不能构成三角形。②当 时，即当点 、 在 轴的正半轴上时， 。这是因为： ， ， 。③会成为等腰直角三角形。这是因为：当 时， ，即当 时， 为等腰直角三角形。同理可得，当 时， 为等腰直角三角形。
⑵①当 时， ， ，同理可得 ， ， 此时 与 内切。②有。当外高时， ；当外切时， ；当相交时， ；当内含时， 。
⑶当 时， ，此时点 的坐标为 ，设经过点 、 、 的抛物线的解析式为 ，则 解得 故所求解析式为 。
1、抛物线 的对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、抛物线 的顶点坐标是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、二次函数 的图象如图所示，则（ ）
A、 ， B、 ，
C、 ， D、 ，
4、如图，在 中，点 在 上， ，垂足为点 ，若 ， ，则 的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、给出下列命题：
①平行四边形的对角线互相平分；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③菱形的对角线互相垂直；④对角线互相垂直的四边形是菱形。其中真命题的个数为（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
6、给出下列函数：① ；② ；③ ；④ 。其中， 随 的增大而减小的函数是（ ）
A、①② B、①③ C、②④ D、②③④
7、已知一次函数 与 ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）
8、如图， 是不等边三角形， ，以点 、 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与 全等，这样的三角形可以作出（ ）
A、2个 B、4个 C、6个 D、8个
9、二次函数 的图象如图所示，那么下列四个结论：① ；② ；③ ；④ 中，正确的结论有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
10、如图，在梯形 中， ‖ ， ， ， ， ，则此梯形的面积是（ ）
A、24 B、20 C、16 D、12
11、如图，线段 、 相交于点 ，欲使四边形 成为等腰梯形，应满足的条件是（ ）
A、 ， B、 ， ，
C、 ， D、 ，
二、填空题（每题3分，共30分）
12、如图，点 是正 和正 的中心，且 ‖ ，则 =_______。
13、某次数学测验满分为100（单位：分），某班的平均成绩为75，方差为10。若把每位同学的成绩按满分120进行换算，则换算后的平均成绩与方差分别是_________。
14、李好在六月月连续几天同一时刻观察电表显示的度数，记录如下：
日期 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 … 30号
电表显示（度） 120 123 127 132 138 141 145 148 …
估计李好家六月份总月电量是___________。
15、将正方形 的一个顶点与正方形 的对角线交叉重合，如图⑴位置，则阴影部分面积是正方形 面积的 ，将正方形 与 按图⑵放置，则阴影部分面积是正方形 面积的____________。
16、抛物线 的顶点关于 轴对称的点的坐标为_________。
17、在 中， ， 是斜边 上的中线，将 沿直线 折叠，点 落在点 处，如果 恰好与 垂直，那么 等于________度。
18、已知 是 的角平分线，点 、 分别是边 、 的中点，连结 、 ，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形 成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________。
19、下列四个图形中，图①是长方形，图②、③、④是正方形。把图①、②、③三个图形拼在一起（不重合），其面积是 ，则 _________，图④的面积 _________，则 ________ （填“>”“=”或“<”）。
20、已知方程 （ ， ， 是常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式，则函数表达式为______________，成立的条件是________，是_____________函数。
21、如图，在平行四边形 中，点 、 在对角线 上，且 。请你以点 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）。
⑴连结：___________；
⑵猜想：___________=__________；
⑶证明：______________。
三、解答题（22～26题每题6分，27题7分，共37分）
22、如图，矩形 中，点 是 与 的交点，过点 的直线与 、 的延长线分别交于点 、 。
⑴求证： ；
⑵当 与 满足什么条件时，四边形 是菱形？并证明你的结论。
23、如图， 是 的弦， 切 于点 ， ， 交 于点 ，点 为弧 的中点，连结 ，在不添加辅助线的情况下，
⑴找出图中存在的全等三角形，并给出证明；
⑵图中存在你所学过的特殊四边形吗？如果存在，请你找出来并给出证明。
24、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形 上，并使它的直角顶点 在对角线 上滑动，直角的一边始终经过点 ，另一边与射线 相交于点 。
探究：设 、 两点间的距离为 。
⑴当点 在 上时，线段 与线段 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论（如图⑴）。
⑵当点 在边 上时，设四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数解析式，并写出函数的定义域（如图⑵）。
⑶当点 在线段 上滑动时， 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使 成为等腰三角形的点 的位置，并求出相应的 的值；如果不可能，试说明理由（如图⑶）。（图⑷、图⑸、图⑹的的形状、大小相同，图⑷供操作、实验用，图⑸和图⑹备用）
25、如图，已知四边形 中，点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点，并且点 、 、 、 有在同一条直线上。
求证： 和 互相平分。
26、已知：抛物线 与 轴的一个交点为 。
⑴求抛物线与 轴的另一个交点 的坐标。
⑵点 是抛物线与 轴的交点，点 是抛物线上的一点，且以 为一底的梯形 的面积为9，求此抛物线的解析式。
⑶点 是第二象限内到 轴、 轴的距离的比为5：2的点，如果点 在⑵中的抛物线上，且它与点 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 的周长最小？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
27、在平面直角坐标系中（单位长度：1cm）， 、 两点的坐标分别为 ， ，点 从点 开始以2cm/s的速度沿折线 运动，同时点 从点 开始以1cm/s的速度沿折线 运动。
⑴在运动开始后的每一时刻一定存在以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形吗？如果存在，那么以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形相似吗？以点 、 、 为顶点的三角形和以点 、 、 为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗？请分别说明理由。
⑵试判断 时，以点 为圆心， 为半径的圆与以点 为圆心、 半径的圆的位置关系；除此之外 与 还有其他位置关系吗？如果有，请求出 的取值范围。
⑶请你选定某一时刻，求出经过三点 、 、 的抛物线的解析式。
参考答案与提示
1、A 2、D 3、A 4、D 5、B 6、D 7、C 8、B 9、D 10、A 11、D 12、60° 13、90 14、4 120度 15、
16、 17、30 18、 ， ， 等 19、 = 20、 二次 21、⑴ ⑵ ⑶ 四边形 为平行四边形， ， ‖ 。 ，在 和 中， ， 。
22、⑴ 在矩形 中有 ‖ ， ， 。又 ， 。
⑵当 与 垂直时，四边形 是菱形。 ， ，又 ， 四边形 是平行四边形。又 ， 四边形 是菱形。
23、⑴ 。证明： ， 。 为 的切线， 。 。又 ， 。又 ，即 。 。在 和 中， ， ， ， 。
⑵存在，它们分别为平行四边形 和梯形 。证明： ， ， ‖ ， ‖ 。 四边形 是平行四边形。又 与 相交， 四边形 为梯形。
24、⑴ ，证明：过点 作 ‖ ，分别交 于点 ，交 于点 ，则四边形 和四边形 都是矩形， 和 都是等腰三角形（如图⑴）。 ， ， 。而 ， 。又 ， ， 。
⑵由⑴知 ，得 。 ，
， ， ， ，
，
，即 。
⑶ 可能成为等腰三角形。①当点 与点 重合，点 与点 重合，这时 ， 是等腰三角形，此时 ；②当点 在边 的延长线上，且 时， 是等腰三角形（如图3），此时， ， ， ， ，当 时，得 。
25、连结 、 、 、 。点 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点。在 中， ；在 中， ， 。 四边形 为平行四边形。 与 互相平分。
26、⑴依题意，抛物线的对称轴为 。 抛物线与 轴的一个交点为 ， 由抛物线的对称性，可得抛物线与 轴的另一个交点 的坐标为 。
⑵ 抛物线 与 轴的一个交点为 ， 。 ， ， ， 点 的坐标为 。又梯形 中， ‖ ，且点 在抛物线 上， 点 的坐标为 。 梯形 的面积为9，又 ， ， ， ， ， 所求抛物线的解析式为 或 。
⑶设点 的坐标为 ，依题意， ， ，且 ， 。
①设点 在抛物线 上，则 。解方程组 得 ， ， 点 与点 在对称轴 的同侧， 点 的坐标为 。设在抛物线的对称轴 上存在一点 ，使 的周长最小。 长为定值， 要使 的周长最小，只需 最小。 点 关于对称轴 的对称点是 ， 由几何知识可知，点 是直线 与对称轴 的交点。设过点 、 的直线的解析式为 ，则 ，解得 ， 直线 的解析式为 ，把 代入上式，得 ， 点 的坐标为 。
②设点 在抛物线 上，则 。解方程组 消去 ，得 ， ， 此方程无实数根。综上所述，在抛物线的对称轴上存在点 ，使 的周长最小。
27、⑴①不一定。例如：当 时，点 、 、 与点 、 、 都不能构成三角形。②当 时，即当点 、 在 轴的正半轴上时， 。这是因为： ， ， 。③会成为等腰直角三角形。这是因为：当 时， ，即当 时， 为等腰直角三角形。同理可得，当 时， 为等腰直角三角形。
⑵①当 时， ， ，同理可得 ， ， 此时 与 内切。②有。当外高时， ；当外切时， ；当相交时， ；当内含时， 。
⑶当 时， ，此时点 的坐标为 ，设经过点 、 、 的抛物线的解析式为 ，则 解得 故所求解析式为 。
参考资料： http://zk.juren.com/
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