Question

定积分 ln(cosx+2)dx 在0到pai 上的积分

如果分部注意 不是x * f(sinx) 形式
要过程，疑似结果为 pai/2 * ln3
如果设t=cosx+2， t-2=u,
ln(u+2) / sqrt.(1-u^2) du 在-1到1 如何积
如果直接分部
-x * sinx/(cosx+2)dx 在0到pai 如何积

Answer 1

用含参变量积分的方法是对的，解答在下面的图中：

Answer 2

我是这样做的,还不知道是不是最后的结果,你看一下,谢谢!

我是用含参量积分来做的:

令I=积分:(0,pai)ln(cosx+2)dx
I(a)=积分:(0,pai)ln(acosx+2)dx
I'(a)=积分:(0,pai)cosx/(acosx+2)dx
=1/a积分;(0,pai)[1-2/(acosx+2)]dx
=1/a*{x-4/根号(4-x^2)arctan[根号(2-a)/根号(2+a)*tan(x/2)]}|(0,pi)
=1/a*[pai-2pai/根号(4-a^2)]

I(a)=积分:I'(a)da
=积分:1/a*[pai-2pai/根号(4-a^2)]da
=pailna-pai[lna-ln(根号(4-a^2)+2)]
=pailn(根号(4-a^2)+2)+C

因为有:
I(0)=pailn2
所以C=-pailn2

令a=1,
得到:
I=pailn(2+根号3) -pailn2

不知道这个结果对不对??
感觉有点不对头...

Answer 3

这题只能使用换元法做,同时要换限,转化成根式来做;下面可以结合凑微分法和分部积分法做,原函数不易求出啊……

设t=cosx,
则dx=d(arccost)= -dt/√(1-t^2)，
原式=∫(-1到1) ln(t+2)d(arccost)
=[ln(t+2)(arccost)](-1到1)-∫(-1到1)arccostd[ln(t+2)] (分部积分法)
=0-∫(-1到1)arccostd[ln(t+2)]
=∫(-1到1)arccost/(t+2) dt

(似乎下面无法做出来了……)

-x * sinx/(cosx+2)dx 好象不能积出来的。

Answer 4

能不能用牛顿－莱布尼茨公式？我也想知道，顶。