Question

解方程组2yz+x^2=x;2xz+y^2=y;2yx+z^2=z

有过程
我做到这一步
（x+y+z）^2=x+y+z
x+y+z=0或1
接下去怎么做？

Answer 1

{x = 0, y = 0, z = 0},
{x = 1/3, y = 1/3, z = 1/3},
{x = 1, y = 0, z = 0},
{x = 0, y = 1, z = 0},
{x = 0, y = 0, z = 1},
{x = -1/3, y = -1/3, z = 2/3}
{x = 2/3, y = -1/3, z = -1/3},
{x = -1/3, y = 2/3, z = -1/3},

解：
三个方程相加
得(x+y+z)^2=x+y+z
x+y+z=0或x+y+z=1

方程1，2相减，得
(2yz-2xz)+(x^2-y^2)=x-y
-2z(x-y)+(x+y)(x-y)=x-y
(x-y)(x+y-2z-1)=0
得x=y或x+y=2z+1

若x=y,由x+y+z=0或1得z=-2x或z=1-2x，
代入方程1，
2x(-2x)+x^2=x 或 2x(1-2x)+x^2=x
x(3x+1)=0或x(3x-1)=0
解得{x=0,y=0,z=0}, {x=-1/3,y=-1/3,z=2/3}或{x=0,y=0,z=1},{x=1/3,y=1/3,z=1/3}

若x+y=2z+1, 由x+y+z=0或1可得
z=-1/3或z=0,
x+y=1/3或x+y=1,即y=1/3-x或y=1-x
代回方程1，
2(1/3-x)(-1/3)+x^2=x或2(1-x)*0+x^2=x
(3x+1)(3x-2)=0或x(x-1)=0
解得{x=-1/3,y=2/3,z=-1/3},{x=2/3,y=-1/3,z=-1/3}或{x=0,y=1,z=0},{x=1,y=0,z=0}

Answer 2

不好意思 这上面打那些符号实在太痛苦了
我就跟你说吧
把上面三个已知条件两两相减
左边减去左边 右边减去右边 结果还是等式
前面带2的提出因子 平方项变成（x+y）*（x-y）的形式
当x y 相等的时候很简单 不相等就消去因子 得到三个三元一次方程 然后解之

Answer 3

提示一步吧，时间有限，不好意思了
2yz+x^2=x ---1）
2xz+y^2=y ---2）
2yx+z^2=z ---3）

1)-2)可以得到 2z(y-x)+(x-y)(x+y)=x-y
2)-3)可以得到 2x(z-y)+(y-z)(y+z)=y-z
3)-1)可以得到 2y(x-z)+(z-x)(z+x)=z-x

然后讨论x,y,z之间是否有两个相等，应该不难吧

能做到x+y+z=1或0说明你能力足够的嗯～加油^^

Answer 4

上面三个方程每2个相减依次可以得到（x-y）（x+y-2z-1）=0，
（y-z）（y+z-2x-1）=0，（x-z）（x+z-2y-1）=0然后再按照
x+y+z=0或1分别进行讨论求解即可

Answer 5

2yz+x^2=x ---1）
2xz+y^2=y ---2）
2yx+z^2=z ---3）

1)-2)可以得到 2z(y-x)+(x-y)(x+y)=x-y
2)-3)可以得到 2x(z-y)+(y-z)(y+z)=y-z
3)-1)可以得到 2y(x-z)+(z-x)(z+x)=z-x

讨论x,y,z之间是否有两个相等,然后解之