Question

解方程组xy+yz+zx=1;yz+zt+ty=1;zt+tx+xz=1;tx+xy+yz=1

有过程

Answer 1

由1式和4式有tx=zx
得x=0或者t=z
当x=0时
有
yz=1
zt=1
有y=t
代入2式有
t^2+2tz=1
tz=1
所以t^2=-1
舍去
所以取x≠0，t=z
代入式2，3有yt=xt
有t=0或者x=y
当t=z=0时2式布成立
所以t=z≠0，x=y
最后有：
x=y，z=t
等式变成：
x^2+2xt=1
t^2+2tx=1
解得：x^2=t^2≠0
当x=t是有
x=y=t=z=±√3/3
当x=-t时有
t^2=-1舍去

所以最后
x=y=z=t=±√3/3

Answer 2

xy+yz+zx=1减去yz+zt+ty=1得
xy+yz+zx-yz-zt-ty=0
(y+z)(x-t)=0
同理得
(x+y)(z-t)=0
(x+z)(y-t)=0
(t+y)(x-z)=0
(t+z)(x-y)=0
(t+x)(y-z)=0
考虑(t+x)(y-z)=0
若t+x=0，则1=zt+tx+xz=tx+z(t+x)=tx=-t^2，t^2=-1，矛盾
所以y=z
同理可得x=y=z=t
所以1=xy+yz+zx=3x^2，x=y=z=t=根3/3

Answer 3

x=1 y=1 z=1