Question

已知函数f(x)=1+2sin(2x-π/3),x∈[π/4,π/2]

1、求最大值、最小值
2、若-2＜f(x)-m＜2在x∈[π/4,π/2]上恒成立，求m的范围。

Answer 1

1.∵∏/4≤x≤∏/2,
∴∏/2≤2x≤∏,故∏/6≤2x-∏/3≤2∏/3
∴1/2≤sin(2x-∏/3)≤1
∴1≤2sin(2x-∏/3)≤2
∴2≤f(x)≤3.
2.2<f(x)-m<2在[∏/4,∏/2]上恒成立.
由上已知,当x∈[∏/4,∏/2]时,2≤f(x)≤3.
由｜2-m｜<2,得-2<2-m<2,即-4-m<0,得0<m<4
由｜3-m｜<2,得-2<3-m<2,即-5<-m<-1,得1<m<5
于是得m的取值范围为{0<m<4}∩{1<m<5}={1<m<4}.
即当m∈(1,4)是不等式｜f(x)-m｜<2在区间[∏/4,∏/2]上恒成立.