Question

函数与极限的题（详解）

1.设函数f(x)=arctan1(x＞1),f(x)=a(x=0),f(x)=e^(1／x)(x＜1),则当a=?时f(x)在x=0左连续；则当a=?时f(x)在x=0右连续？
2.函数f(x)=ln(x+1),则函数f(f(x))的定义域是？
3.函数f(x)=x／1+x^2在定义域内有无上下界，有请写出。
4.欲使函数f(x)=cotx／(π／2-x)在x=π／2连续，则应取f(π／2)=?
5.证明：当x→0时,secx-1～x^2／2
因为很多概念我不是很懂，所以拜托大家竟可能写详细一些，谢谢了。 第一题是抄错了，三个范围分别是（x＞0)(x=0)(x＜0),第三题是f(x)=x／(1+x^2)

Answer 1

1 f(x)在x=0左连续 就是 f(x)从左往右求得极限要等与f(x)的值 f(x)在x=0右连续 就是 f(x)从右往左求得极限要等与f(x)的值

2 f(f(x))=ln(ln(x+1)+1)
f(x)=lnx函数的定义域为x>0
所以ln(x+1)+1>0且x+1>0就是所求定义域

3 对f(x)求导当x趋向无穷时看f(x)导数是否为零 本题x趋向于正无穷大f(x)趋向于0 趋向于负无穷大时f(x)趋向于0

4 f(x)=cotx／(π／2-x)在x=π／2连续就是x从两边趋向π／2时 f(x)的极限相等且等于f(x) 本题中可使用变量代换 令t=π／2-x 即求t从两边趋向π／2时 f(t)=cot(π／2-t)／t的极限 运用罗比达法则即可

5 求lim(secx-1)/(x^2／2)的值(lim的下面有个x→0) 用罗比达法则即可

Answer 2

1、a=0时，左连续；a=正无穷，右连续；或者说右连续点的值是不存在的。
2、f(f(x))=ln(ln(x+1)+1）；
ln(x+1)+1>0,--->x>exp(-1)-1;
x+1>0--->,x>-1,所以，x>exp(-1)-1是其定义域。
3、有上下界。(通过求导数求极值。）
令
f'(x)=1/(1+x^2)-x*2x/(1+x^2)^2=0；
--->x=+ -1时取得极值：+ -1/2 。
x=0和+ -无穷时，值都为0 。
4、即求x--->π／2，f(π／2)= , cotx是什么，写错啦吧？如果是cosx，则f（x）=sin（π／2-x）/(π／2-x)在x--->π／2时，f（x）---->1 。所以为使f(x)在π／2点连续，应取f(π／2)=1 。
5、secx-1=1/cosx-1=(1-cosx)/cosx=2sin^2(x/2)/cos(x);x--->0时，cosx--->1;而同时，
2sin^2(x/2)~2*(x/2)^2=x^2/2。故 secx-1～x^2／2 。

Answer 3

1、这题我怀疑你题目是不是抄错了，f(x)=a是不是应该在x=1这点呢？
按照你现在给的题目的话，f(x)在x=0处的左极限是0，右极限是正无穷大，所以a=0时左连续，不可能右连续。
如果是f(x)=a在x=1这点的话，x=1处的f(x)的左极限是e，右极限是PI/4，所以a=e时左连续，a=PI/4时右连续。

2、f(x)的定义域是x>-1，所以f(f(x))的定义域是f(x)>-1，自己解吧。

3、我又怀疑你题目抄错了，是不是1/x?
按照现在给的题的话，这就是一个简单的二次函数，开口向上，x=1/2时,f(x)=-1/4，是最小值，所以下界是-1/4，无上界。
如果是1/x的话，你只要把x平方和x分之一的图画一下就发现这个函数在x=0时是负无穷，x趋向于无穷大时f(x)都趋向于正无穷，所以无界。

4、这题也就是让你求x=PI/2时的极限了，用一下洛比达法则就好了，这个就你自己去用了，比较简单，我就不多说了。

5、这题就是要你求当x趋于0时，secx-1的极限，把这个式子化成（1-cosx)/cosx，1-cosx在趋于0时，用等价无穷小的方法化为x平方/2，cosx在x趋于0时极限为1，所以原式在x趋于0的极限就是x平方/2。

上面说的可能还是有些概念（洛比达法则，等价无穷小，有界等）你可能不太明白，建议你好好去看课本上的概念及其后的例题和证明方法。等价无穷小和有界这些概念在数列与函数极限这一章里就有了，洛比达法则有的书本可能要到学中值定理和导数应用那一章里才会讲到，提前去看一下也没关系，反正比较简单而且是很实用的一个求极限工具。

Answer 4

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