Question

若a>0,b>0,2/a+3/b=4,求a+2b的最小值

Answer 1

首先因为4=2/a+3/b>2/a,a>1/2,同理b>3/4
设S=a+2b,则S>1/2+2*3/4=2
2/a+3/b=4
3a+2b=4ab
2a+(a+2b)=4a(S-a)/2
2a+S=2aS-4a^2
4a^2-2aS+2a+S=0
4a^2-2(S-1)a+S=0
a为大于0的实数，所以S>0,且判别式=4(S-1)^2-16S>=0
S^2-2S+1-4S>=0
S^2-6S+1>=0
S>=3+2根号2，或S<=3-2根号2（因为小于2不合题意,舍去）
所以a+2b的最小值为3+2根号2

Answer 2

a+2b=1/4*(a+2b)*(2/a+3/b) 因为2/a+3/b=4
=1/4*(2+3a/b+4b/a+6)

a>0,b>0
由均值不等式
3a/b+4b/a>=2√(3a/b*4b/a)=4√3
当3a/b=4b/a取等号
b^2=3a^2/4
b=(√3/2)a,代入2/a+3/b=4
显然有正解
所以等号能取到

所以a+2b=1/4*(2+3a/b+4b/a+6)>=1/4(8+4√3)=2+√3
所以最小值=2+√3

Answer 3

(1/a)+(2/b)=(1/a)+(2/b)*(a+2b)=1+(2b/a)+(2a/b)+4
因为a>0,b>0
所以(2b/a)>0，(2a/b)>0
用基本不等式
得(2b/a)+(2a/b)>=4
所以(1/a)+(2/b)>=9
即（1/a)+(2/b)的最小值为9

Answer 4

首先因为4=2/a+3/b>2/a,a>1/2,同理b>3/4

设S=a+2b,则S>1/2+2*3/4=2

2/a+3/b=4
3a+2b=4ab
2a+(a+2b)=4a(S-a)/2

2a+S=2aS-4a^2

4a^2-2aS+2a+S=0

4a^2-2(S-1)a+S=0

a为大于0的实数，所以S>0,且判别式=4(S-1)^2-16S>=0

S^2-2S+1-4S>=0

S^2-6S+1>=0

S>=3+2根号2，或S<=3-2根号2（因为小于2不合题意,舍去）

所以a+2b的最小值为3+2根号2

Answer 5

由2/a+3/b=4,得 ：a=2/(4-3/b)=2b/(4b-3) (1)
设a+2b=k (2)
（1）代入（2）得：
k=2b/(4b-3)+2b 整理得：
（4b-3)k=2b+2b(4b-3)
化简得：
8b^2-(4+4k)b+3k=0 (3)
(3)是关于的一元二次方程

判别式=（4+4k)^2-4*8*3k=16+32k+16k^2-96k=16k^2-64k+16