Question

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求各位数字不同的3位数，使它等于所有由它的数字组成的2位数之和

Answer 1

我的答案是594。

设这个数是abc。

注意到由它的数字组成的2位数之和并没有要求这个2位数的个位和十位数字不同，因而共有3*3＝9个二位数，9个二位数总和的个位和十位数字和都为3*(a+b+c)，所以这9个2位数的和是：3*(a+b+c)*11

3*11*(a+b+c)=100a+10b+c=99a+11b+(a+c-b)

所以 a+c-b需要被11整除。a,b,c都为1-9，并互不相同，所以 -6<a+c-b<16

a+c-b=0 或 11

若a+c-b=0, 则33*2b=99a+11b 9a=5b, a=5,b=9 因而 c=4

若a+c-b=11，则33*(11+2b)=99a+11b+11, 9a=5b+32, b=8,a=8 不合题意。

所以这个数是594

Answer 2

设这个数是 abc,
得 100a+10b+c=(10a+c)+(10a+b)+(10b+c)+(10c+a)+(10c+b)+(10b+a)
=22(a+b+c) ①
所以c偶数，abc能被11整除，
a+c-b能被11整除,a+c-b只能为0或11
当a+c-b=0 ②
化简① 得26a=4b+7c ③，由②③得c=2a,b=3a
0<=b=3a<=9,所以a可以是1，2和3，abc为132，264，396
当a+c-b=11 ④时，由③④得，2a=c-4>0,c偶数,c可以取6和8，此时a为1，2，b为负数，不可能
综上，这三位数可以为132，264，396

Answer 3

设这个数是 abc, a,b,c分别满足1<=a<=9,0<=b<=9,0<=c<=9
所以abc=ac+ab+bc+ca+cb+ba
得 100a+10b+c=(10a+c)+(10a+b)+(10b+c)+(10c+a)+(10c+b)+(10b+a)
化简 26a=4b+7c
得结果：
a=1,b=3,c=2;
a=2,b=6,c=4;
a=3,b=9,c=6;

Answer 4

设个位，十位，百位上的数字依次为c,b,a
由题意得100a+10b+c=(10a+b)+(10a+c)+(10b+c)+(10c+a)+(10c+b)+(10b+a)
然后解得关于a,b,c的方程
再根据1<=a<=9,0<=b<=9,0<=c<=9
写出所有符合题意的三位数