Question

设△ABC的内角A,B,C所对的扁a,b,c成等比数列，则（sinA+cosAtanC)/（sinB+cosBtanC）的取值范围

设△ABC的内角A,B,C所对的扁a,b,c成等比数列，则（sinA+cosAtanC)/（sinB+cosBtanC）的取值范围是？

Answer 1

（sinA+cosAtanC)/（sinB+cosBtanC）
=(sinAcosC+cosAsinC)/(sinBcosC+cosBsinC)
=sin(A+C)/sin(B+C)
=sin(180-B)/sin(180-A)
=sinB/sinA
=b/a (正弦定理)
下面求b/a 的取值范围：
（1）如果a<=b<=c，则b/a>=1；
因为三角形两边之和大于第三边，则必有a+b>c，即a^2+ab>ac=b^2 (因为三边等比）；
这个不等式两边同时除以a^2：(b/a)^2-(b/a)-1<0
解这个不等式，并取正值（因为(a/b)>=1）: 1<=(a/b)<(1+根号5)/2.
（2）如果a>=b>=c，类似可得[(根号5)-1]/2<b/a<=1.

Answer 2

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