Question

求函数u=x2+y2+z2在椭球面x2/a2+y2/b2+z2/c2＝1上点M.(X.,Y.,Z.)处沿外法线的方向导数。

X2为x的平方，其他字母同此

Answer 1

设F=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1

则其法线方向为：(Fx,Fy,Fz)=(2x/a²，2y/b²，2z/c²)，此方向就是外法线方向

将(2x/a，2y/b，2z/c)化为单位向量得：(x/a，y/b，z/c)/√(x/a^4+y/b^4+z/c^4)

即cosα=(x/a²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)

u=x^2+y^2+z^2的方向导数为：

du/dx*cosα+du/dy*cosβ+du/dz*cosγ

=2(x²/a²+y²/b²+z²/c²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)

由于x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1

=2/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)

函数的近代定义

是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

Answer 2

设F=x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1
则其法线方向为：(Fx,Fy,Fz)=(2x/a²，2y/b²，2z/c²)，此方向就是外法线方向
将(2x/a²，2y/b²，2z/c²)化为单位向量得：(x/a²，y/b²，z/c²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)
即cosα=(x/a²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)
cosβ=(y/b²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)
cosγ=(z/c²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)
u=x^2+y^2+z^2的方向导数为：
du/dx*cosα+du/dy*cosβ+du/dz*cosγ
=2x*(x/a²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)+2y*(y/b²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)
+2z*(z/c²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)
=2(x²/a²+y²/b²+z²/c²)/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)
由于x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
=2/√(x²/a^4+y²/b^4+z²/c^4)

Answer 3

不会