Question

已知椭圆C（x²/a²)+(y²/b²)=1（a>b>0)的离心率为（√6）/3

短轴的一个端点到右焦点的距离为√3
设l与椭圆C交于A,B两点，坐标原点O到l的距离为(√3)/2
求△AOB面积的MAX

Answer 1

(1)短轴一个端点到右焦点的距离为√3, y轴正半轴上的短轴端点坐标为（0，b），右焦点为（c，0）

所以√(b²+c²）=√3，即b²+c² =3，即a²=3

a=√3，

因为 e=√6／3，即c/a=√6／3，所以c=√2

即b²= 3-c² =1

因此 椭圆C的方程为 x²/3  +Y² =1

 

（2）

S△AOB=|AB|*（√3／2）/2= （√3／4）|AB|，只要|AB|最大，三角形AOB的面积最大

Answer 2

即是求三角形底边长最大值
a,b,c已知
设直线与椭圆两交点坐标为（x1,y1）(x2,y2)
则由弦长公式可导出距离不变时
弦平行于长轴时S最大