Question

初中数学 关于勾股定理

△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c.∠C=90°,如图1,根据勾股定理,则a方＋b方＝c方．若△ABC不是直角三角形,如图2和图3,请类比勾股定理,试猜想a方 b方 c方的关系,并证明.

Answer 1

第二个图
做bc边上的高，AD，有：
AD方=c方-BD方=b方-AD方
即：c方+b方=BD方-AD方=a*（BD-AD）<a方
第三个图
做bc上的外侧高，设为AD，延长BC到D，有：
AD方=b方-CD方=c方-（a+CD）方
即：b方-c方=cd方-（a+CD）方=-a*(a+c+CD)
即：c方-b方=a*（a+c+CD）>a方
如果你学过余弦定理的话，那就简单的多了，余弦定理从百度百科上面给你复制过来：
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
即
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
这样就比较方便了

Answer 2

如果C是锐角 则a方＋b方>c方
如果C是钝角 则a方＋b方<c方
只证明C是锐角的情况，钝角的情况同理
证明:过A作AD垂直BC于D，设CD=X， AD=a-X
所以b方-X方=c方-（a-X）方
化简得a方+b方-c方=2aX，==>X=(a方+b方-c方)/2a （*）
又cosC=X/b
把（*）代入得 cosC=（a方+b方-c方）/2ab
因为C是锐角cosC>0 又a>0,b>0 所以a方+b方-c方>0
同理C是钝角cosC<0 又a>0,b>0 所以a方+b方-c方<0
证毕！

Answer 3

锐角三角形:
c^2<a^2+b^2

钝角三角形:

c^2>a^2+b^2

Answer 4

和余弦定理有关