Question

F1,F2是椭圆x^2/2+y^2=1的两个焦点，过F2作倾斜角为45度的弦AB，则三角形F1AB的面积为多少？

Answer 1

这里介绍一个简单方法，但是高中数学经常会用到这个公式。
过焦点的弦长l=2ab^2/(a^2-(c*cos倾斜角)^2)
可以用极坐标推或直接计算。
这道题AB=4*根号2/3
S三角形F1AB=S三角形F1F2B+S三角形F1AF2
可以看成F1F2为底边,AB在Y投影长为高的三角形 L投影=4*根号2/3*SIN45=4/3
S三角形F1AB=1/2* L投影*F1F2=4/3
没有图片，希望理解。

Answer 2

设A(x1,y1),B(x2,y2)，不妨设A在x轴上方，B在下方，则y1>0,y2<0
因为弦AB过F2
所以三角形F1AB的面积等于三角形AF1F2和三角形BF1F2的面积之和。
S=1/2F1F2*|y1|+1/2F1F2*|y2|=1/2F1F2*(y1-y2)=c(y1-y2)
∵a²=2,b²=1
∴c=√a²-b²=1
∴S=y1-y2
右焦点F2是(1,0),故直线AB方程为y=x-1,代入椭圆方程消去x得
3y²+2y-1=0
∴y1=1/3,y2=-1
∴三角形F1AB的面积是4/3