Question

在数列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1），求数列{an}的通项an

Answer 1

解：此题用“构造法”将原数列an的递推公式a(n+1)=2an+3构造一下，
使两边有“相似”部分，令a(n+1)+x=2(an+x)，化简得a(n+1)=2an+x，
即x=3，则a(n+1)+3=2(an+3)，即可得到如下数列：
a2+3=2(a1+3)
a3+3=2(a2+3)
a4+3=2(a3+3)
···
a(n+1)+3=2(an+3)
由a1=1，可知a1+3=4，则数列an+3是一个以4为首项，2为公比的等比数列，
即an+3=4×2^(n-1)，化简得an=2^(n+1)-3

Answer 2

an+1=2an+3
an+1 ＋3=2*(an+3)
所以：{an+3}为等比数列，首项为a1+3=1+3=4
公比为2
所以an+3=4*2^(n-1)=2^(n+1)
an=2^(n+1)-3

n=1时，a1=1 满足an
所以an=2^(n+1)-3