Question

怎样证明(n+1/n)^n在n趋向正无穷时等于自然对数底数e

希望不确定的同志们就不要回答了.

Answer 1

其实是自然对数的底e定义为 (n+1/n)^n (n->∞) 的极限.
需要证明的是这个极限存在.
首先有个单调有界数列收敛定理(一个比较基本的定理). 然后数列 a[n] = (n+1/n)^n 单调增, 有上界4, 故必收敛到一个常数. 这个常数就称为 e.
在中学学的数学中e的具体值通常都不太重要(只要知道 2<e<10 就差不多了). 但在微积分中, e的引入可以带来许多简化.
一个例子是 e^x 的导数(导函数)是自身:
考虑(a是常数, h->0) (a^(x+h) - a^x)/h = a^x (a^h - 1)/h
令 y = a^h - 1, (a^h - 1)/h = y/(log_a(y+1)) = log_a(a)/log_a((y+1)^(1/y)) = ln(a) (其中(y+1)^(1/y))=e (y->0))

这个内容在高等数学或数学分析中的极限, 导数章节中有.

Answer 2

看不懂，几年级题啊？我八年级啊！~·~