Question

【困惑】关于高等数学中反函数的理解

例如函数y=f(x)，则设其反函数为x=ψ(y)，将x和y交换得y=ψ(x)，那么x=ψ(y)和y=ψ(x)是不是都是直接函数y=f(x)的反函数啊？到底哪个是呢？（书上的意思说都是）。但其图像在同一坐标系中x=ψ(y)和y=f(x)的图像是同一个图像，y=ψ(x)和y=f(x)的图像却关于y=x对称，这些是否矛盾呢？我对高数中的反函数一直很困惑。
x=ψ(y)若画成图象y应该是横坐标轴、x应该是纵坐标轴吧？？

Answer 1

不矛盾。反函数的图像关于直线y=x轴对称是正确的。二者都是。例如函数
y=f(x)=x+6.将x和y交换得到x=f(y)=y+6就是它的反函数，或变形:
x=ψ(y)=y-6,此时是把x视为因变量,把y视为自变量的，也就是x是心目中原来的y，才是反函数.否则x=y-6与原函数是同一个函数。

Answer 2

x=ψ(y)画成图像y依然是纵坐标轴，x依然是横坐标轴关键是从映射角度理解
y=f(x)和x=ψ(y)中，x和y没变，依旧取自的坐标点集。f表示一个x到y的一个映射，ψ只是把这个映射逆过来。表示f的一个反映射。所以x依然是横坐标轴上的点，y依然是纵坐标上的点。
而y=ψ（x）保留了ψ映射，相对于x=ψ(y)把x,y的取集交换了一下，所以它的图像是关于y=x对称

Answer 3

函数y=f(x)，则设其反函数为x=ψ(y)，将x和y交换得y=ψ(x).不就是将x，y轴交换，当然关于y=x对称。这就是反函数的意义。

Answer 4

简单地说，函数是自变量所在集合到因变量所在集合之间的一种映射关系（f)，反函数是将直接函数的定义域和值域互换后得到的新的一种映射关系(ψ)。
由此，函数y=f(x)其反函数可表为x=ψ(y）或y=ψ(x）。两种表达的反函数中x、y的差异只是自变量、因变量的记号不同而已。x=ψ(y)和y=f(x)的图像是同一个图像，是由于这里你将两个不同的函数其中的一个自变量作为另一个的因变量在同一坐标系中表示了，自然对于直接函数和反函数而言就重合了[反过来，两个相同的函数x=2y(自变量y)和y=2x(自变量x),在同一坐标系中的图像就不同了]。所以为了能在同一坐标系中区分这对函数，我们通常将反函数表示成y=ψ(x）。