Question

一道高中数学题 （函数）

函数f(x)对任意x、y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,并且当x>0时，f(x)>1.
(1) 求证：f(x)在R上是增函数；
（2）若不等式f(a2+a-5)<2解集为{a|-3<a<2},求f(4).

Answer 1

1.∵f(m+n)=f(m)+f(n)-1
当m=n=0时，f(0)=f(0)+f(0)-1
∴f(0)=1
当m+n=0时，f(0)=f(m)+f(-m)-1
∴-f(m)=f(-m)-1
∴-f(x)=f(-x)-1
在R上任取x1>x2,则
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)-1
=f(x1-x2)-1
又∵当x>0时，f(x)>1
∴f(x1-x2)-1＞0
∴f(x1)>f(x2)
因此该函数在定义域上单调递增
2.