Question

求一道动量的物理题目

球1和球2的质量分别为m1和m2，放置在光滑水平地面上，球1以一定的水平初速v10向右运动，球2则静止。两球右侧有一竖直弹性墙。

假定两球之间、球与墙之间的所有碰撞均为完全弹性碰撞。为

使两球能发生、而且只能发生两次碰撞，试问两球的质量之比

m1/m2应满足什么条件？

要有解析~~

Answer 1

完全弹性碰撞 , 所以
m1 * v10 = m1*v1 + m2*v2
m1 * v10^2 = m1*v1^2 + m2*v2^2

过程从略 , 解得
v1 = [(m1 - m2)/(m1+m2)] v10
v2 = [2m1/(m1+m2)] v10

v1 v2 分别代表 第一次碰撞后 m1 m2 的速度
若 m1 > m2 , 则 v1 > 0 表示 v1 与 v10 方向相同,继续向右
若 m1 = m2 , 则 v1 = 0, v2 = v10
若 m1 < m2 , 则 v1 < 0 , 表示碰撞后 m1 向左运动, m2 向右运动

接下来, m2 与墙发生碰撞后，墙的质量视为无穷大，所以碰撞后 m2 速率依然为 v2， 方向向左

接下来， 按照题意， m1 m2 只能再发生一次碰撞

首先最简单的情况
1） m1 = m2 ， 容易判断， 第2次碰撞后 m2 静止， m1 以v10 的速率向左。 满足题目要求

其次
2）若 m1 > m2。
2m1 > m1 - m2
v2 > v1
即 第一次碰撞后， m1 以 v1 向右， m2 以 v2 向右。 m2 与 墙碰撞后， 以 v2 向左， 与 m1 再次发生第二次碰撞。
之后， m1 和 m2 的速度分别为 v1' , v2'。
根据完全弹性碰撞的动量守恒和动能守恒， 可以再进一步求出 v1' , v2'
这个过程 我就不细致去求解了。 但我相信， 在 m1 > m2 前提下， 必然有结果 |v2'| > |v1'|。这样 m2 与墙发生第二次碰撞后， 就会与 m1 发生第三次碰撞， 不符合题目要求。
（关于 |v2'| > |v1'| 这个结论， 还可以设想更简单的模型 m1 静止， m2 向左运动。）

3) 最后 m1 < m2
这种情况下 m1 m2 首次碰撞后， m1 向左，m2 向右撞墙， 反弹后追 m1。为了追上 m1 而发生第二次碰撞，则
|v2| > |v1|
2m1 > | m1 - m2|
2m1 > m2 - m1
m1/m2 > 1/3

追上之后， v1' 必然进一步增大，而 v2' 会小于v1'。不会再有第三次碰撞。（严密推导还是需要解 完全弹性碰撞方程， 丛略）

综上所述， m1/m2 应满足 1 ≥ m1/m2 > 1/3