Question

一道高一的数学问题

已知二次函数f(x)=a的2次方+bx（a、b为常数，且a不等于0），满足条件 f(-x+5)=f(x-3)，且方程f(x)=x有等根。
（1）求f(x)的解析式。
（2）是否存在实数m、n（m小于n），使f(x)的定义域和值域分别是[3m,3n]。如果存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由。

——————请写清楚解题步骤。。。拜托拜托。。。谢谢！！！。。^_^
大题目中的二次函数打错了，应该是f(x)=ax^2+bx ; (2)中的定义域和值域都是[3m,3n]

Answer 1

请问(2)中的定义域是不是[m,n]?
若是,则请参考以下过程.

解：(1)
因为f(x)=a*x^2+b*x
所以f(-x+5)=a*(-x+5)^2+b*(-x+5)=a*(x^2-10x+25)-bx+5b=ax^2-10ax+25a-bx+5b
f(x-3)=a*(x-3)^2+b*(x-3)=ax^2-6ax+9a+bx-3b
因为f(-x+5)=f(x-3)
即ax^2-10ax+25a-bx+5b=ax^2-6ax+9a+bx-3b
化简得ax^2-(10a+b)x+(25a+5b)=ax^2-(6a-b)x+(9a-3b)
由上式根据待定系数法可得-(10a+b)=-(6a-b)和+(25a+5b)=(9a-3b)
即4a=-2b和16a=-8b,都推出a=-0.5b……①
又因为f(x)=x，即a*x^2+b*x=x，得a*x^2+(b-1)x=0
方程f(x)=x有等根，得出△=(b-1)^2-4a*0=0，即△=(b-1)^2=0
所以b=1,由①式a=-0.5b可得，a=-0.5
所以f(x)=-0.5x^2+x
(2)假设存在实数m，n(m<n),使f(x)的定义域和值域分别为【3m,3n】和【3m，3n】，
又对称轴为X=-1/(-1)=1
则:[1]当3n>3m>=1时,n>m>=1/3
则X=3m时,Y=3n
X=3n时,Y=3m
则-1/2*(3m)^2+3m=3n-----(1)
-1/2*(3n)^2+3n=3m-----(2)
可得m=0,n=0或m=-4,n=4
又n>m>=1/3,则m,n无解
[2]当1>=3n>3m时,m<n<=1/3
则X=3m时,Y=3m
X=3n时,Y=3n
则-1/2*(3m)^2+3m=3m-----(1)
-1/2*(3n)^2+3n=3n-----(2)
可得m=0,n=0,
又m<n<=1/3,则m,n无解
[3]当3m<1<3n时, m<1/3<n
则X=3m或3n时,Y=3m
X=1时,Y=3n
则-1/2*(3m)^2+3m=3m-----(1)
-1/2*(1)^2+1=3n-----(2)
或-1/2*(3n)^2+3n=3m-----(1)
-1/2*(1)^2+1=3n-----(2)
则m=0,n=1/6或m=3/8,n=1/6
又m<1/3<n,则m,n无解

综上,不存在实数m、n,使f(x)的定义域和值域分别是[3m,3n]