Question

已知向量a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),若实数k使|ka+b|=|a-kb|成立,

求满足不等式 a乘b≥0的k的取值范围.

Answer 1

|ka+b|=|a-kb|
即|(kcosα,ksinα)+(2cosβ,2sinβ)|=|(cosα,sinα)-(2kcosβ,2ksinβ)|
k^2+4+4kcos(α-β)=1+4k^2-4kcos(α-β)
cos(α-β)=3(k^2-1)/(8k)
要使 a*b=2cos(α-β)>=0
只需 3(k^2-1)/4k>=0
即 k>0

Answer 2

作恒等变换|ka+b|^2=|a-kb|^2
展开移项整理
有4ka·b=3(k^2-1)
显然k不等于零
所以a·b=3/4(k-1/k)≥0
解这个不等式
k属于(-1,0)并（1，正无穷）
（写成不等式-1<k<0或1<k