Question

数学证明题(整除证明,最大公约数证明)

1 a,b是整数并且被c整除. 如果a,b的最大公约数是1,那么证明a*b也被c整除

2 证明gcd(a,b*c)=1 又且只有在 gcd(a,b)=1 gcd(a,c)=1 的情况下成立.
不好意思,第一题弄错了.正确的是:
c是整数并且被a,b整除. 如果a,b的最大公约数是1,那么证明c也被a*b整除 .
一楼谢谢,但是能否把这个给我讲一下,gcd(a,b*c)=x*y （这个明白吧）,我很菜.

Answer 1

1. a,b是整数并且被c整除 说明
a=mc,b=nc,(m,n为整数）
所以a*b=mnc^2,是c的倍数。
所以a*b也被c整除

2.先证明当gcd(a,b)=1 gcd(a,c)=1时gcd(a,b*c)=1
由gcd(a,b)=1，a没有b的质因数
由gcd(a,c)=1，a没有c的质因数
所以a没有b*c的质因数
所以gcd(a,b*c)=1
再证明当gcd(a,b*c)=1时gcd(a,b)=1 gcd(a,c)=1
设gcd(a,b)=x，gcd(a,c)=y（x，y为正整数）
所以gcd(a,b*c)=x*y （这个明白吧）
但是gcd(a,b*c)=1
所以x*y=1，又因为x，y为正整数
所以x=y=1
综上，gcd(a,b*c)=1 又且只有在 gcd(a,b)=1 gcd(a,c)=1 的情况下成立