Question

已知函数f(x)=loga 1-mx/x-1(a>0,a≠1,m≠1)是奇函数。

（1） 求实数m的值
（2） 判断函数f(x)在（1,+∞）上的单调性并证明

Answer 1

f(x)+f(-x)=0
loga 1-mx/x-1+loga 1+mx/(-x-1)=0
(1-mx)*(1+mx)/(x-1)(-x-1)=1
1-m^2x^2=1-x^2
(m^2-1)x^2=0
m1=1
m2=-1
m≠1
所以：
m=-1
f(x)=loga 1+x/x-1
2
定义域：1+x/x-1>0
x>1或x<-1
1<x1<x2
f(x2)-f(x1)=loga (1+x2)*(x1-1)/(x2-1)(1+x1)
(1+x2)*(x1-1)-(x2-1)(1+x1)
=x1x2-x2+x1-1-(x1x2-x1+x2-1)
=-x2+x1-x2+x1=-2*(x2-x1)<0
所以：
(1+x2)*(x1-1)>(x2-1)(1+x1)>0

f(x2)-f(x1)=loga (1+x2)*(x1-1)/(x2-1)(1+x1)>loga 1=0
所以x>1为增函数
由于为奇函数，x<-1也为增函数！

Answer 2

m=1根据f(x)=f(-x)
将m值代入得（1-x2)*（x1-1）/(x2-1)*(1-x1)
又因为x1x2均大于1
所以得（1-x2)*（x1-1）/(x2-1)*(1-x1)>0
所以f（x）为增函数