Question

一道经典数学题

甲乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是50千米。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，甲带着一条狗，狗每小时跑5千米。这只狗同甲一起出发，碰到乙的时候它就掉头往甲这边跑，碰到甲又往乙这边跑，碰到乙它就又掉头往甲这边跑......直到甲乙两人相遇为止。问：这只狗一共跑了多少千米？
这道题很简单，我小学就会用s=vt做。可使用较难的方法如何做？就是人们一般想的那种方法？请给我解释清楚，谢谢！
同学们请认真看题！用s=vt大家都会，请不要再说了！那再请问，这只狗一共掉头多少次？最后一次掉头之前头朝哪一边？谢了。
还有：这道题苏步青做过，约翰奈什讲解过，还有某位数学家做过，很经典的。但大家一般都是用时间×速度这种简易方法来算，我只是想问一下所谓“麻烦”方法。喜欢玩游戏到一边玩去，别瞎凑热闹。

Answer 1

这道题关键在于计算出狗总共跑的时间
简单方法是T=50/(3+2)=10
因为狗在甲乙相遇所用的时间一直在往返跑
所以甲乙相遇所用的时间就是狗总共跑的时间
而人们一般想的方法是把每次狗跑的时间求出，然后求和
这个方法比较麻烦
设第N次狗遇到乙时，花的时间为TN,甲乙之间的距离为XN
第一次 T1=50/(5+2)=50/7
X1=50-T1*(3+2)=100/7
第二次先与甲相遇，T'=X1/(5+3)=25/14
X'=X1-T'*(3+2)=X1-5X1/(5+3)=3X1/8=75/14
与乙相遇，T''=X'/(5+2)=3X1/56=75/98
X2=X'-T''*(3+2)=3X1/8-15X1/56=3X1/28=75/49
T2=T'+T''=5X1/28=125/49
如此循环，有 XN=3X(N-1)/28
TN=5X(N-1)/28 (n>=2)
所以XN为首项为X1，公比为3/28的等比数列
XN=X1*(3/28)^(N-1) (n>=1)
X(N-1)=X1*(3/28)^(N-2) (n>=2)
TN=5X(N-1)/28=5/28*X1*(3/28)^(N-2) (n>=2)
当N->无穷大时，XN->0
T总=T1+T2+...+TN
=T1+5/28*(X1+X2+...X(N-1))
=T1+5/28*X1*[1-(3/28)^(N-1)]/(1-3/28）
因为N->无穷大，1-(3/28)^（N-1）->1
所以T总=50/7+5/28*100/7*28/25=10
S=5*T总=50
再来回答楼主的第二个问题
这只狗一共掉头N次，这里的N趋向于无穷大，并非是一个有限的数
为什么是无穷大次，我认为可以这样想
假设此时狗与甲相遇，甲与乙还未相遇
那么从这时算起，狗和甲都与乙相向而行，
因为狗的速度大于甲的速度，所以狗先与乙相遇，而甲乙必定还未相遇
那么此时狗与乙相遇，甲与乙还未相遇,又回到了上面的问题
按照以上的逻辑，甲乙似乎永远都不可能相遇了
其实，不然，因为我们知道甲乙用50/(3+2)=10小时就相遇了
所以就只能这样理解了，狗往返跑的次数N越大，甲乙间距离X就越小
当N充分大时，X接近于0，所以可以看做甲乙相遇了
那么为什么N为无穷大时，总共花的时间不是无穷大呢？
因为N充分大时，X接近于0，而此时狗跑一趟所花的时间T=X/(5+2)或者T=X/(5+3),T也是一个无穷小量，T->0,
就是说狗跑一趟所花的时间越来越少，最后基本上就趋向于0了，
所以当N->无穷大时，
共花的时间仍为有限值10小时
所以既然狗往返跑的次数N是无穷大次，
最后一次掉头之前头朝哪一边？
这个问题也是无意义的

Answer 2

解：设甲x小时遇到乙。
依题意，得：3x+2x=50
5x=50
x=10
10*50=50千米
答：这只小狗一共跑了50千米。
下面的问题补充我不会做，抱歉！

Answer 3

甲和乙相遇要用50/（2+3）=10小时，
即十小时之后甲乙相遇
狗在这10小时中一直在奔跑
狗跑了5*10=50千米

Answer 4

你非要这么做的话，就是一个极限问题。

一开始。第一次与乙相遇 时间 50/(2+5) 这时甲乙距离
50-(2+3)*50/(2+5)
第一次与甲相遇 时间 (50-(2+3)*50/(2+5))/(3+5) 这时甲乙距离
50-(2+3)*(50-(2+3)*50/(2+5))/(3+5)=41.0714

一次次算时间，时间是个等比数列，然后求和。

Answer 5

需要知道狗的身长，因为最后狗一转身就碰到双方了。