Question

数学归纳法不能证明

对于命题，1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n < 1 ,n趋近无穷大且为正整数，本人觉得像这样类似的命题（怎么类似，大家都是聪明人，应该能看得出来），不能用数学归纳法证明。不知道大家有没有更好是想法？
我不得不重新说明的是，我并不是想 要怎么证明这个命题，而是要讨论 ！！数学归纳法！！
能否解决这个问题，特别是 类似这样的问题！！！！ 五楼的回答虽然是用了数学归纳法，其实这不能这么说，因为他没有用到n=k 的归纳假设，并不是用了归纳法

Answer 1

数学归纳法应该是1.当n=1的时候成立.2.当n=k成立时,n=k+1时也成立

首先,n=1时,显然是成立的
若n=k的时候成立,即 (1/2*(1-(1/2)^k))/(1-1/2)=1-(1/2)^k<1成立时,
那么n=k+1即1-(1/2)^(k+1)=1/2*(1-(1/2)^k)+1/2<1/2+1/2=1
那n=k+1时成立.

为什么会觉得不能用数学归纳法,实际上没掌握数学归纳法的实际意义.
其实这道题本可以用正常的证明,不需要用数学归纳法.
数学归纳法的用途是在难以证明n=k时成立(也就是说无法证明对于每一个数都成立).时,用到的.
实际上,很多思想也和数学归纳法有关,但并不一样,如上面的解的过程中,认为1个小于1的数乘以1/2所得的积总比1小.而数学归纳法是在给出一个复杂的式子,你不管代什么数它都成立,你却说不出为什么时,就可以用数学归纳法算算了.

Answer 2

首先，对不起，一开始没用数学归纳法是因为不能理解你的叙述，因为我认为你要求不用数学归纳法来证明。

其次，我认为你的题目大概是要证明
1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1
而不是1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n <1

那么我们现在用数学归纳法来证明：1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1

你只要把这个命题变一下就可以证明了，你证明出1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n =1-1/2^n就可以了，相信这个证明对你而言是很简单的。而1-1/2^n<1。也就是1-1/2^n=1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n <1。

凡是有确定极限或边界的不等式证明，你只要通过证明这个极限和边界的存在就可以证明不等式的成立。而我认为你说的单纯通过数学归纳法来证明原不等式命题确实不行。

如果你学过等比数列，那么就好办了

1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/2^n

=1/2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)

=1-1/2^n<1

如果你没学过，你可以想象一样东西，你拿掉一半，再拿掉剩下的一半，再拿剩下的一半......无论你重复多少次，也不可能拿掉比最开始全部的还要多

Answer 3

数学归纳法处理的证明题所在的数学模型一般为单调函数,其单调性应当与要证明的不等式有对应的关系(比如说,f(x)为增函数,要证的是f(n)(n为整数)≥某数k),当所要证明的不等式与题中所给的函数模型无此对应关系时,用数学归纳法就没有意义了:
比如说楼主的命题,我们可以知道1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n +1/(n+1)＞1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n 但这对我们证明这道题有帮助么?没有。因为我们要得出的是一个小于关系，这种大于关系无法进行变形。所以说这道题只能通过其他手段来解决，比如楼上说的等比数列求和公式等等。
另外说一句,这道题不能说不能用数学归纳法证明,而是用不着,用了等于没用。
因为我也很喜欢数学归纳法，所以希望以后和楼主多多讨论

Answer 4

有两种小学生应该也会懂的方法
方法一：设我有一根木棒，长度设为一个单位，锯一半给你，这时你有1/2，（我剩1/2根木棒）
我从剩下的1/2中再锯一半给你，这时你有1/2+1/4，（我剩1/4根木棒）
我从剩下的1/4中再锯一半给你，这时你有1/2+1/4+1/8，……，
第n次时，我手中总是剩下1/n根木棒，而你有1/2 + 1/4 + 1/8 +....1/n=1-1/n<1
方法二：设我有一张正方形纸，设面积为1，撕一半给你，
第二次再撕剩下的一半，……同上理，我最后剩1/n，而你只能得1-1/n<1

Answer 5

将该题改一下形式,可用数学归纳法证明,证明了原题的结论.
试证:1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n=1-1/2^n<1.
证明 当n=1时,1/2=1-1/2<1,命题成立.当n=k时命题成立,考虑n=k+1时的情况,由归纳法假设得
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n+1/2^(n+1)
=1-1/2^n+1/2^(n+1)=1-1/2^(n+1)<1
于是n=k+1时命题成立.

"五楼的回答虽然是用了数学归纳法，其实这不能这么说，因为他没有用到n=k 的归纳假设，并不是用了归纳法"回答这个说法.
当n=k时命题成立,才有/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n=1-1/2^n
于是得
1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 +....+1/2^n+1/2^(n+1)
=1-1/2^n+1/2^(n+1)=1-1/2^(n+1)<1