Question

函数的不动点

我只知道定义，不知道怎么用

比如分式型递推数列为什么可以用不动点法来解？有什么必然联系？

能说出其他的用法更好

Answer 1

你可以看一下这个课件http://www.math.ecnu.edu.cn/jpkc/sxfx/kcja/
下面举题
例如
对于函数f(x),若有f(x)=x则称x为该函数的"不动点",若f[f(X)]=x则称x为该函数的"稳定点".如果函数f(X)的"不动点"和"稳定点"分别记为集合A和B. 怎么证明A包含于B 若f(X)=aX2-1且A=B不等于空,求a的范围.
注意:aX2是a倍x的2次方
若x是不动点，那么有
f(x)=x
所以f(f(x))=f(x)=x
所以x也是稳定点，
所以A包含于B．

由题目知
ax^2-1=x与a(ax^2-1)^2-1=x
同解．

首先A不为空，即
ax^2-x-1=0是有解的，
所以△=1+4a≥0
即a≥-1/4

其次
对于x=a(ax^2-1)^2-1
有
x=a^3x^4-2a^2x^2+a-1
由于A=B
因此将
ax^2-1=x
代入得：
ax^2-1=a^3x^4-2a^2x^2+a-1
所以
a^3x^4-(2a^2+a)x^2+a=0
所以
a^2x^4-(2a+1)x^2+1=0是没有解的
因为如果有解，则会出现不满足A的x
所以
△＝(2a+1)^2-4a^2=4a-3<=0
所以a<=3/4
综合得：-1/4<=a<=3/4

Answer 2

用不动点的前提是数列收敛
你可以想像，对於一个递推数列
如果对於定义域上所有值都会有相应的值
如果首项落在其收敛域上，那麼该数列在图像上的波动将趋於稳定
当项数足够多时最后将稳定於一个点
所以你们所用的不动点理论是直接跳过收敛这一前提，直接求出极限之类的应用