Question

初中数学证明题,求好心高手帮忙，十分感谢！

正方形ABCD对角线AC上一动点P(不与A、C重合），点E在射线BC上，且PE=PB，求证PE垂直PD.

Answer 1

证明△CBP≌△CDP得∠PBC=∠PDC
由PE=PB得∠PBC=∠PEB
∴∠PDC=∠PEB
而∠PEB+∠PEC=180度
∴∠PDC+∠PEC=180度
再由四边形PDCE面积和=360度即得DPE=90度

Answer 2

作PF垂直BE，PG垂直CD
然后证明三角形PBF和PDG全等就可以了，很简单

Answer 3

详细说一下：
因为 AC是正方形ABCD的对角线 （已知）
所以 BC=CD（正方形的四边相等）
∠DCB=90°（ 正方形的角为90°） ∠BCP=∠DCP（正方形对角线平分正方形的角）
在△BPC与△DPC中
BC=DC(已证）
∠BCP=∠DCP(已证）
CP=CP(公共边）
所以 △BPC全等于△DPC
所以 ∠PBC=∠PDC(全等三角形的对应角相等）
又因为PB=PE(已知）
所以 ∠PBC=∠PEB(等边对等角）
所以 ∠PEB=∠PDC(等量代换）
因为 ∠PEB+∠PEC=180°(平角定义）
所以 ∠PDC+∠PEC=180°（等量代换）
所以∠PDC+∠PEC+∠DCB=180°+90°=270°
所以∠DPE=360°-270°=90°
所以PE垂直于PD
谢谢支持！

Answer 4

证明:由正方形条件知△APD≌△APB,
所以 ∠ADP=∠ABP
∠DPE=∠DPC+∠EPC=∠DAP+∠ADP+∠EPC=∠ABP+∠BCP+∠EPC=∠ABP+∠PEB
因为 BP=EP
所以 ∠PBE=∠PEB
∠DPE=∠ABD+∠PBC=90°
即 PE⊥PD
说明一下,这道题在高中阶段可利用直线斜率乘积为-1得垂直结论,那样也简单的.