Question

函数极限的问题

设f(x)在实数x0的一个去心邻域U(x0, δ0)上(就是区间(x0 - δ0, x0 + δ0)去掉x0点这个集合之上)有定义, 如果对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ, 和一个实数A, 使得当
|x - x0| < δ
时, 下式成立:
|f(x) - A| < ε
就说函数f(x)在x0点的极限是A, 记作
f(x) -> A
(x -> x0)

如果对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ
他们两个的值有关系吗?

Answer 1

首先说一下你的定义有问题。你说的：
如果对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ, 和一个实数A, 使得
这句应该改成：
如果存在一个实数A，对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ, 使得
这个A是先给定的，然后用ε-δ定义判断它是极限。

有关系，必须得任意的ε都能找到一个δ满足条件，才能说A是极限。所以有的时候也写作δ(ε)，表示δ是根据ε取值的，但是注意δ不是ε的函数，因为对于每个ε，都会有无数个δ存在（事实上只要一个δ满足条件那么比它小的例如δ/2肯定也满足）。

Answer 2

有关系，只是它们的关系是不能用表达式表示的，就是说δ和ε是有不确定的关系的，但是δ是随着ε的取值而取某一范围的值使其满足|f(x) - A| < ε 。
还是好好理解下极限的定义吧！

Answer 3

|x - x0| < δ
时, 下式成立:
|f(x) - A| < ε
就说函数f(x)在x0点的极限是A, 记作
f(x) -> A
(x -> x0)

如果对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ
他们两个的值有关系吗?
提问者：19910620 - 举人 五级

答复共 3 条
首先说一下你的定义有问题。你说的：
如果对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ, 和一个实数A, 使得
这句应该改成：
如果存在一个实数A，对任意小的正数ε, 都存在一个正数δ, 使得
这个A是先给定的，然后用ε-δ定义判断它是极限。

有关系，必须得任意的ε都能找到一个δ满足条件，才能说A是极限。所以有的时候也写作δ(ε)，表示δ是根

Answer 4

微积分的基础问题，最好去问一下你的微积分老师比较清楚