Question

在正项数列an中,前n项和Sn=1/2(an+1/an),求数列的通项公式

在正项数列an中,前n项和Sn=1/2(an+1/an),求数列的通项公式
好难？我做半天。

Answer 1

S1=a1=1/2（a1+1/a1==>a1=1或a1=-1(不符合要求).

an=sn-s(n-1)=1/2(an-1/an)-1/2(a(n-1)-1/a(n-1))
==>1/an-an=1/a(n-1)+a(n-1)
两边平方得:1/(an^2)+an^2-2=1/(a(n-1)^2)+a(n-1)^2+2
即:[1/(an^2)+an^2]-[1/(a(n-1)^2)+a(n-1)^2]=4------(1)
令An=1/(an^2)+an^2-----(2)
则A(n-1)=1/(a(n-1)^2)+a(n-1)^2
A1=1/(a1^2)+a1^2=2
代入(1)得:
An-A(n-1)=4===>An为等差数列.
An=A(1)+4*(n-1)=2+4*(n-1)=4n-2
代入(2)得:
4n-2=1/(an^2)+an^2
解得:an=根号(n)-根号(n-1) ---(不符合要求的根已舍)