Question

已知函数f(x)=log9(9 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.

已知函数f(x)=log9(9 ^x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
求⑴求k的值;
⑵若函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点,求b的取值范围;
⑶设h(x)=log9(a•3 ^x-4/3a),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围.
请教各位高手了,谢谢并祝新年快乐!
1、9 ^x+1是9的x次方+1
2、4/3a是4a/3，也就是3分之4w个a。
谢谢各位朋友！

Answer 1

[1]由 f(1)=f(-1)则k=-1/2
[2]因f(x)-1/2x=log9(9^x+1)-x=log9(1+9^(-x))>log9(1)=0,即f(x)>1/2x
所以，当b<=0时，函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点。
而b>0时，因log9(1+9^(-x))=b有解x=-log9(9^b-1),即函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b有交点。
因此，函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点时b的取值范围是：b<=0.
[3]f(x)可化为log9(3^x+3^(-x)),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,即方程
f(x)=h(x)有唯一解。
3^x+3^(-x)=a*3^x-4a/3
(1-a)(3^x)^2+4a/3*(3^x)+1=0有唯一解
当1-a=0即a=1时无解，当a不等于1时二次方程判别式为0，即(4a/3)^2-4(1-a)=0
a=-3或a=3/4.但a=3/4时，经检验(1-a)(3^x)^2+4a/3*(3^x)+1=0仍无解。
要使函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点，a只能取为a=-3.

Answer 2

（1）f(-x)=log(9)(9^(-x)+1)-kx=log(9)(9^x+1)-(k+1)x
f(-x)=f(x), 则 k=-1/2.
（2）要想 y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点，即方程
log(9)(9^x+1)-x/2=x/2+b 无解，只需对任意实数x都有 b>log(9)(9^x+1)-x
记g(x)=log(9)(9^x+1)-x, 则g'(x)=-1/(9^x+1)<0,则
g(x)<=g(0)=log(9)2
所以b>log(9)2.
（3）[看不好题目中4/3a是什么意思？]

Answer 3

请问是9 ^x+1还是9ˇ（x+1）？？？

Answer 4

[1]由
f(1)=f(-1)则k=-1/2
[2]因f(x)-1/2x=log9(9^x+1)-x=log9(1+9^(-x))>log9(1)=0,即f(x)>1/2x
所以，当b<=0时，函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点。
而b>0时，因log9(1+9^(-x))=b有解x=-log9(9^b-1),即函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b有交点。
因此，函数y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点时b的取值范围是：b<=0.
[3]f(x)可化为log9(3^x+3^(-x)),若函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,即方程
f(x)=h(x)有唯一解。
3^x+3^(-x)=a*3^x-4a/3
(1-a)(3^x)^2+4a/3*(3^x)+1=0有唯一解
当1-a=0即a=1时无解，当a不等于1时二次方程判别式为0，即(4a/3)^2-4(1-a)=0
a=-3或a=3/4.但a=3/4时，经检验(1-a)(3^x)^2+4a/3*(3^x)+1=0仍无解。
要使函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点，a只能取为a=-3.

Answer 5

（1）
f(-x)=log9{[(9^（-x)+1]}-kx
因f(x)=f(-x)
log9[(9^x)+1]+kx=log9{[(9^（-x)+1]}-kx
log9{[9^（-x)+1]}-log9[(9^x)+1]=2kx
log9{[9^（-x)+1]/[(9^x)+1]}=2kx
[9^（-x)+1]/[(9^x)+1]=9^(2kx)
9^（-x)+1=9^(2kx)[(9^x)+1]=9^(2kx+x)+9^(2kx)
9^(2kx+2x)+9^(2kx+x)-9^x-1=0
(9^x)^(2k+2)+(9^x)^(2k+1)-(9^x+1)=0
(9^x+1)[(9^x)^(2k+1)-1]=0
(9^x)^(2k+1)-1=0
2k+1=0
k=-1/2;
（2）要想
y=f(x)的图象与直线y=1/2x+b没有交点，
即方程
log(9)(9^x+1)-x/2=x/2+b
无解，只需对任意实数x都有
b>log(9)(9^x+1)-x
记g(x)=log(9)(9^x+1)-x,
则g'(x)=-1/(9^x+1)<0,则
g(x)<=g(0)=log(9)2
所以b>log(9)2.