Question

已知函数f(x)=x/(3x+1),数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),

已知函数f(x)=x/(3x+1),数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),求证：数列{1/an}是等差数列
1楼答的是第2问 2楼的兄弟，请写详细点，看不懂啊，郁闷~~~

Answer 1

【分析】求证{1/an}是等差数列就是求证1/an+1-1/an=d,其中d为一个常数；
【解】 由题意；知道：
an+1=f(an)=an/(3an+1);
即：
an+1=an/(3an+1);
由于a1=1不为0，所以an+1=f(an)都不为0，上式两边同取倒数得到：
1/an+1=(3an+1)/an;
即就是：
1/an+1=3+1/an;
等式变化得到：
1/an+1-1/an=3为常量；
所以{1/an}为等差数列

Answer 2

an+1 = an / (3an + 1)
1/an+1 = 3 + 1/an
令cn = 1/an
则cn+1 = 3 + cn
c1 = 1/a1 = 1
故cn = 3n-2
an = 1/(3n-2)

Sn = 2^n - 1
Sn-1 = 2^(n-1) - 1
bn = Sn - Sn-1 = 2^n - 2^(n-1) = 2^(n-1)
Tn = 1/1 + ... + 2^(n-1)*(3n-2)
=1 + (2*3*2 - 2²) + ... + [3*n*2^(n-1) - 2^n]
=3*[1*(2^n-1)/(2-1) + 2*[2^(n-1)-1]/(2-1) + ... + 2^(n-1)*[2^(n-n+1)-1]/(2-1)] - 2*(2^n-1)/(2-1)
=3*[n*2^n - 1*(2^n-1)/(2-1)] - 2^(n+1) + 2
=3n*2^n - 3*2^n + 3 - 2*2^n + 2
=(3n-5)2^n + 5
得到Tn = (3n-5)2^n + 5

Answer 3

an+1=f(an)=an/3an+1
取其两边的倒数啊
这不就可以了么