Question

一道初三圆数学题

在等腰△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB、AC相切，切点分别为D、E，过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB、AC于M、N，那么，BM*CN除以BC的平方等于多少？

Answer 1

设D、E两点分别在AB、AC上，则 

∵以O为圆心的圆同时与AB、AC和MN相切 

∴OM、ON分别为∠FMD和∠FNE的角平分线， 

则（1）：∠OMB+∠ONC=∠OMN+∠ONM=1/2∠FMD+1/2∠FNE 

=1/2（180°-∠AMN）+1/2（180°-∠ANM） 

=1/2（360°-（∠AMN+∠ANM）） 

=1/2（360°-（180°-∠A）） 

=90°+1/2∠A 

∴∠MON=180°-(∠OMN+∠ONM) 

=180°-(90°+1/2∠A) 

=90°-1/2∠A 

∴（2）：∠BOM+∠CON=180°-∠MON 

=180°-(90°-1/2∠A) 

=90°+1/2∠A 

∴由（1）（2）可知： 

（3）：∠OMB+∠ONC=∠OMN+∠ONM=∠BOM+∠CON=90°+1/2∠A 

∵∠B=∠C 

∴（4）：∠BOM+∠BMO=∠CON+∠CNO=180°-(180°-∠A)/2=90°+1/2∠A 

∴由（3）（4）可知： 

∠BOM+∠BMO=∠BOM+∠CON=90°+1/2∠A 

∴∠CON=∠BMO 

又∵∠B=∠C 

∴ΔBOM∽ΔCNO ,从而BM/CO=BO/CN,BM*CN=BO*CO=0.25BC^2,BM*CN除以BC的平方等于1/4.