Question

过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则此椭圆的离心率是多少？

过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则此椭圆的离心率是多少？
给出最简单方法的详细过程

Answer 1

设x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

作图可知
A为y>0的半平面内直线与椭圆交点
B为y<0的半平面内直线与椭圆交点

作对应于椭圆左焦点的准线x=-a^2/c

分别过A，B做准线的垂线,垂足分别为M，N
设准线与x轴交于P点
根据离心率e的定义
e=|AF|/(|PF|+|AF|cos60)=|BF|/(|PF|-|BF|cos60)
|AF|=2|BF|
则|PF|+2|BF|cos60=2(|PF|-|BF|cos60)
|PF|=2|BF|
代入e=|BF|/(|PF|-|BF|cos60)=1/(2-1/2)=2/3