Question

∫e^-t^2dx的不定积分怎么求？？高分悬赏！！！

1.∫e^-t^2dx的不定积分怎么求？？
2.lim(e^sinx）-e^x/sinx-x的极限是怎么求（x趋向到0）...正解中貌似用到等价替换是把(e^sinx）-e^x用sinx-x替换。为什么？
3.用分部积分做题的时候老是很晕，尤其是在替换的过程中不知该替换那个！
回答出我的三个问题追加到100分！！！！！！！！！！！
∫e^-（t^2）dt再次更正一下是dt!!!!! 上面打错了！！！

Answer 1

1、关于∫e^-（t^2）dx的问题前几天已经有人问过了，函数e^(-x^2)的原函数不能用初等函数表示，这是数学上已经证明了的。
不过以后讲到二重积分时会有这个函数在无限区间上的广义积分的例题，到了概率统计课上还要涉及到这个函数的广义积分。

2、我给你介绍一个比较简捷的解法：
分子提出一个公因式e^x, 则
原式=lim e^x[e^(sinx-x)-1]/(sinx-x)
=lim[e^(sinx-x)-1]/(sinx-x)
再作变量代换 t=sinx-x, 于是
上式=lim(e^t-1)/t=1
t->0
当然还可以用洛必达法则，不过中间也要尽量使用等价无穷小代换，以减少运算量：
原式=lim(e^sinx-e^x)/sinx-x
=lim(cosx*e^sinx-e^x)/(cosx-1)
=lim(cosx*e^sinx-e^x)/(-x^2/2)
=-2lim((cosx)^2*e^sinx-sinx*e^sinx-e^x)/(2x)
=-lim((cosx)^3*e^sinx-3sinxcosx*e^sinx-cosx*e^sinx-e^x)/1
=-(1-1-1)
=1.

3、关于分部积分法，主要应理解以下问题：
第一，这种积分法实际上是函数乘积微分的逆运算。从形式上看，分部积分法适用于两个函数乘积的积分，与第一换元法不同的是，这两个函数之间不存在一个函数是另一个函数或是其中间变量的导数的关系。
例如∫(lnx/x)dx适合用第一换元法（凑微分法），因为(1/x)dx 恰好是lnx的微分；但是 ∫xlnxdx 就需要用分部积分法，因为x和lnx之间就不存在前一个例子中的那种关系。
第二，运用分部积分法的关键是在被积函数（两个函数的乘积）中选择一个作为公式中的u，另一个作为v'. 请记住两条基本原则：
（1）作为v' 的那个函数的原函数必须容易求出。例如
∫xarcsinxdx, ∫arctanxdx, ∫x*lnxdx
等，就分别选择x, 1, x 作为v'；否则下面无法进行。
（2）要使公式∫u*v'dx=u*v-∫u'*vdx 等号右边的积分∫u'*vdx
比你要计算的那个积分∫u*v'dx 更容易求出，至少不会更难于计算出。
例如∫x*sinxdx, ∫x*cosdx, ∫x*e^xdx等，就选择sinx,cosx,e^x 作为v'。
上面的三个积分，为什么不选择x作为v'？那不也是很容易计算的吗?可是一旦这样选择，就会出现例如
∫xsinxdx=∫sinxd(x^2/2)=x^2*sinx/2-∫(x^2/2)cosxdx
此时等号右边的积分比原先的积分更难算了，这又是何苦呢？
当然，要想熟练地掌握分部积分法，还要做一定数量和有一定难度的习题的练习，认真体会一下这种方法的精髓。此外还要注意这种方法与其它积分法的综合运用。