Question

椭圆x^2/2+y^2=1及圆外一点M(0,2),过这点引直线与椭圆交于AB两点，求AB的中点P的轨迹方程

详解~~~

Answer 1

先联想一下，一个圆柱体，斜着砍一刀，得到椭圆。

从而圆与椭圆之间建立了一个一一对应

平面上所有点的横坐标乘(√2/2)

将椭圆变成圆C',圆心为O(0,0)

在椭圆所在的平面α与圆所在的平面α'建立一一对应的关系

A(x,y)->A'(√2x',y')

x=√2x'

y=y'

x^2/2+y^2=1

在圆所在的平面内

x'^2+y'^2=1

及圆外一点M'(0,2)

过这点引直线与圆C'交于A'B'两点

求A'B'的中点P'的轨迹方程

P'为A'B'的中点P'

所以

OP'垂直于P'M'

所以P'轨迹为圆，圆心为OM'中点

x'^2+(y'-1)^2=1

回到椭圆所在的平面

x=√2x'

y=y'

x^2/2+(y-1)^2=1

最后结论

x^2/2+(y-1)^2=1

x^2/2+y^2<1（椭圆内部）

Answer 2

AB的中点P的轨迹方程是2(Y-5)^2+X^2=2。
设过点M(0,2)的直线为y=kx+2,将y=kx+2代入椭圆方程x^2/2+y^2=1得
(2k^2+1)x^2+8kx+6=0
x2,x2是方程的根,则有x1+x2=8k/(2k^2+1)
y1=kx1+2,y2=kx2+2
设AB的中点P的坐标为P(X,Y),则
X=(x1+x2)/2=4k/(2k^2+1)
Y=(y1+y2)/2=k(x1+x2)+4=4k^2/(2k^2+1)+4
X=4k/(2k^2+1)
Y-4=4k^2/(2k^2+1)
Y-4=kX,k=(Y-4)/X
将k=(Y-4)/X代入X=4k/(2k^2+1)
2(Y-4)^2-4(Y-4)+X^2=0
2(Y-5)^2+X^2=2
AB的中点P的轨迹方程是2(Y-5)^2+X^2=2，轨迹仍是一个椭圆。

Answer 3

设过点M(0,2)的直线为y=kx+2,与椭圆方程x²/2+y²=1联立消去y得
(2k²+1)x²+8kx+6=0，设A坐标为(x1,y1),B坐标为(x2,y2)
由韦达定理可知，x1+x2=-8k/(2k²+1)
y1=kx1+2,y2=kx2+2,y1+y2=k(x1+x2)+4=-8k²/(2k²+1)+4=4/(2k²+1)
设AB的中点P的坐标为P(x,y),则
x=(x1+x2)/2=-4k/(2k²+1)
y=(y1+y2)/2=2/(2k²+1)
x/y=-2k,将k=-x/(2y)代入y=kx+2得：
y=-x²/(2y)+2
整理得到点P轨迹方程：x²/2 + (y-1)²=1
显然是一个椭圆在已知椭圆内的部分，下面来讨论x和y的取值范围:
二元二次方程组：
x²/2 + (y-1)²=1
x²/2 + y²=1
解得：x=±√6/2,y=1/2
综上所述，点P的轨迹方程为x²/2 + (y-1)²=1 {x∈(-√6/2,√6/2)}
注意：不能取闭区间，因为此时AB重合成为切点了，不和题意。