Question

关于微分方程的问题

我看的是同济版的高数教材，一共要问两个问题
1.设有连结点O(0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA，对于OA上任一点P(x,y),曲线弧OP与直线段OP所围成图形面积为x^2，求曲线弧OA的方程。
在此题中，求出的答案不过O点，标准题解中也是如此，这是为什么？
2.关于一阶线性微分方程的概念。
线性从何而来？
而方程dy/dx+P(x)y=Q(x)中，若Q(x）=0为齐次的，不等于0为非齐次的，这与上一节中说：若一阶微分方程可化成dy/dx=f(y/x)，则此方程为齐次方程好像不一样。这又是什么意思？
希望高手解答！

Answer 1

1、答案有问题，最后的结果应该是一个分段函数：f(x)＝
x－4xlnx，0＜x≤1
0，x＝0

2、线性方程的线性指的是：一方面，因变量y及其各阶导数的幂次都是1，即出现的y、y'、……都是一次方；另一方面，因变量y及其各阶导数的系数都只和自变量x有关

两个齐次是不一样的，有些教材把齐次方程dy/dx=f(y/x)称为齐次型方程. 线性方程中的齐次，非齐次是从自由项Q(x)是否为零上区分的，这与其他课程，如《线性代数》中关于线性方程组的划分是一样的