Question

从1，2，3，…，100这100个数中任意选出51个数，证明：这51个数中必有两数是互质的.

从1，2，3，…，100这100个数中任意选出51个数，证明：这51个数中必有两数是互质的.

Answer 1

证明这个问题可以采用这个方法：首先证明两个连续的自然数互质；100个自然数中选51个数，必然会有至少一对连续的自然数。
至于证明两个连续的自然数互质，下面有个方法，是我直接在知道上找的，应该比较好理解。
证明：反证法，设两数为n和n+1，若两数不互质，则两个数有大于1的公约数：
n=k*m；
n+1=q*m；
其中k,q均为正整数，k<q.
m为质数，则m>1
(n+1)-n=(q-k)*m>=m>1
而(n+1)-n=1
矛盾
因此两数互质
或者可以说：假设都不互质，那么一百中最多的是就是2的倍数，共有50个，那么第51个要是除2的倍数以外的数，就一定会与这些数互质。小学的抽屉原理。

Answer 2

证明这个问题可以采用这个方法：首先证明两个连续的自然数互质；100个自然数中选51个数，必然会有至少一对连续的自然数。
至于证明两个连续的自然数互质，下面有个方法，是我直接在知道上找的，应该比较好理解。
证明：反证法，设两数为n和n+1，若两数不互质，则两个数有大于1的公约数：
n=k*m；
n+1=q*m；
其中k,q均为正整数，k<q.
m为质数，则m>1
(n+1)-n=(q-k)*m>=m>1
而(n+1)-n=1
矛盾
因此两数互质
或者可以说：假设都不互质，那么一百中最多的是就是2的倍数，共有50个，那么第51个要是除2的倍数以外的数，就一定会与这些数互质。小学的抽屉原理。

Answer 3

或者可以说：假设都不互质，那么一百中 最多的是就是2的倍数，共有50个，那么 第51个要是除2的倍数以外的数，就一定 会与这些数互质。小学的抽屉原理。 证明这个问题可以采用这个方法：首先证 明两个连续的自然数互质；100个自然数 中选51个数，必然会有至少一对连续的 自然数。 至于证明两个连续的自然数互质，下面有 个方法，是我直接在知道上找的，应该比 较好理解。 证明：反证法，设两数为n和n 1，若两 数不互质，则两个数有大于1的公约数： n=k*m； n 1=q*m； 其中k,q均为正整数，k<q. m为质数，则m>1 (n 1)-n=(q-k)*m>=m>1 而(n 1)-n=1 矛盾 因此两数互质

Answer 4

100个中，有50个奇数，50个偶数，而奇数和偶数必定互质，所以51个数字中，比有一对奇偶数是互质的。