Question

设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有恒有f(m+n)=f(m)×f(n),且x>0时

0<f(x)<1.
(1)试求f(0)的值
（2）证明：当x<0时，有f(x)>1；

（3）判断f(x）的单调性并证明你的结论。

Answer 1

（1）令m=n=0 那么有f（0）=f（0）的平方
那么f（0）就等于0或1
若f（0）=0 那么令m=0 n>0那么f（m+n）=f（0+n）=f（0）*f（n）=0
这样对于任何n>0都有f（n）=0 这与条件x>0时0<f(x)<1矛盾
所以f（0）=1

（2）令n=-m 那么有f（m+n）=f（0）=f（m）*f（-m）=1
所以f（m）和f（-m）互为倒数
设m属于0到正无穷 那么f（m）就在0到1之间
所以其倒数f（-m）就在1到正无穷上 所以当x<0时，有f(x)>1【你用数学符号表示那些区间吧 我不好打】

（3）设n>0 那么对于对于实数m有f(m+n)=f(m)×f(n) 因为n>0 所以f(n)在0到1之间 又因为函数f(x)在R上恒大于0 所以f(m+n)<f（m） 又m+n>m
所以对于任意实数x2>x1 都有f（x1）>f（x2）
所以函数f（x）在R上单调递减