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第17届“希望杯” 全国数学邀请赛试题初一第二试的全部答案及详细解析

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Answer 1

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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
2006年4月16日 上午10∶30至10∶30
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．a和b是满足ab≠0的有理数，现有四个命题：①的相反数是；②a－b的相反数是a的相反数与b的相反数的差；③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积；④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积．其中真命题有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．在代数式xy2中，x与y的值各减少25%，则该代数式的值减少了（ ）
（A）50% （B）75% （C） （D）
4．若a＜b＜0＜c＜a，则以下结论中，正确的是（ ）
（A）a＋b＋c＋d一定是正数 （B）d＋c－a－b可能是负数
（C）d－c－b－a一定是正数 （D）c－d－b－a一定是正数
5．在图1中，DA＝DB＝DC，则x的值是（ ）
（A）10 （B）20 （C）30 （D）40
6．已知a，b，c都是整数，m＝｜a＋b｜＋｜b－c｜＋｜a－c｜，那么（ ）
（A）m一定是奇数 （B）m一定是偶数
（C）仅当a，b，c同奇偶时，m是偶数 （D）m的奇偶性不能确定
7．三角形三边的长a，b，c都是整数，且[a，b，c]＝60，（a，b）＝4，（b，c）＝3．（注：[a，b，c]表示a，b，c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数），则a＋b＋c的最小值是（ ）
（A）30 （B）31 （C）32 （D）33
8．如图2，矩形ABCD由3×4个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有（ ）
（A）40个 （B）38个 （C）36个 （D）34个
9．设[a]是有理数，用[a]表示不超过a的最大整数，如[1.7]＝1，[－1]＝－1，[0]＝0，[－1.2]＝－2，则在以下四个结论中，正确的是（ ）
（A）[a]＋[－a]＝0 （B）[a]＋[－a]等于0或－1
（C）[a]＋[－a]≠0 （D）[a]＋[－a]等于0或1
10．On the number axis，there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively，and the distance between A and B is less than 10．Let m＝5－2b，then the range of the value of m is（ ）
（A）－1＜m＜39 （B）－39＜m＜1 （C）－29＜m＜11 （D）－11＜m＜29
（英汉字典：number axis 数轴；point 点；corresponding to 对应于…；respectively 分别地；distance 距离；less than 小于；value 值；range 范围）
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9＝_______．
12．若m＋n－p＝0，则的值等于______．
13．图3是一个小区的街道图，A、B、C、…X、Y、Z是道路交叉的17个路口，站在任一路口都可以沿直线看到这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设__________个岗哨．
14．如果m－＝－3，那么m3－＝____________．
15．＝__________．
16．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有______个．
17．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29，23，21和17岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是__________岁．
18．初一（2）班的同学站成一排，他们先自左向右从“1”开始报数，然后又自右向左从“1”开始报数，结果发现两次报数时，报“20”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有15人，则全班同学共有________人．
19．2m＋2006＋2m（m是正整数）的末位数字是__________．
20．Assume that a，b，c，d are all integers，and four equations (a－2b)x＝1，(b－3c)y＝1，(c－4d)z＝1，w＋100＝d have always solutions x，y，z，w of positive numbers respectively，then the minimum of a is ____________．
（英汉词典：to assume 假设；integer 整数；equation 方程；solution（方程的）解；positive 正的；respectively 分别地；minimum 最小值）
三、解答题（本大题共3小题，第21题10分，第22、23题15分共40分）要求：写出推算过程．
21．（1）证明：奇数的平方被8除余1．
（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．

22．如图4所示，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点．连结AO并延长交BC于D，连结CO并延长交AB于F．求四边形BDOF的面积．

23．老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度25千米／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生，带人后速度为20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时．
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
初一 第2试 参考答案
一、选择题
1、C ，提示：①②④正确，③错误。
2、C ，提示：正方体的平面展开图中一个顶点能连出4个正方形。
3、C ，提示：
4、C ，提示：（A）不确定，A错；
（B），B错；
（C），C 对；
（D）不确定，D错。
5、A ，提示：如图，，
，
，
。
6、B ，提示：因为中如果有出现，则都是以它们的偶数倍形式出现的。
7、B ，提示：，则，则，，又，则
。
8、A ，提示：共有矩形60个，共有是正方形的有20个。
9、D ，提示：当时，，当时，。
10、C ，提示：，，即。
二、填空题
11、，

12、，

13、4 ，提示：如图四点：D、N、Y、F
14、，提示：
15、4026042；提示：

16、31；提示：设这些乒乓球有个，则发给第一名：个；
发给第二名：个，
发给第三名：个，发给第四名：个，发给第五名：个。
则，。
17、18 ；提示：设甲，乙，丙，丁四人的年龄为，则
①
②
③
④

①+②+③+④ 得⑤，将⑤分别代入①,②,③,④，求得
，。
18、53 ，提示：，。
19、0 ，提示：的末位数字是2 ，的末位数字 是4 ， 的末位数字是5，故是0 。
20、2433， 提示： ，又为整数，
，
三、21、（1）证明：设奇数为，则；
（i）当为奇数时，能被8整除，故被8除余1；
（ii）当为偶数时，能被8整除，故被8除余1。
故奇数的平方被8除余1。
（2）证明：，10个奇数的平方和为：，
故2006不能表示为10个奇数的平方之和。
22、解：如图，，为中点，为中点，
，，
设，，
，即，，。
，， 即 ，
。
23、解：让一A 同学先步行，老师乘摩托车带B 同学行驶小时后，让B同学步行至博物馆，老师返回接A同学，并带他到博物馆，则有；
当时，，，
，，能到，
故，让A同学先行，老师乘摩托车带B同学行驶1.2 小时，也就是24千米后，让B步行至博物馆，老师返回接A 同学，这样，3小时后，三人同时到达博物馆。

Answer 2

题：http://www.zhongkao.cn/Article_D/2007-02/877771529366875.htm
答案：http://www.zhongkao.cn/Article_D/2007-03/783278679772781.htm

http://www.zhongkao.cn/Article_D/2006-04/916558972985561.htm

http://www.zhongkao.cn/Article_D/2006-04/916558972985561.htm
中考网，希望杯初一初二doc文件，有答案！