Question

可微与可导

可导一定可微，而可微却不一定可导，区别在哪里？
那是不是说如果存在一个有限的△f使△f=f(x+△x)-f(x) 成立就是函数可微呢？

Answer 1

函数可导一定就说面函数连续，可微能说明函数连续，而但连续函数不一定可导。

其实这句话就等价于：
函数可导一定连续，而连续函数不一定可导。用y=|x|证明如下：

证明：（反证）
如若不然，则对于充分小ε>0固定，
取δ=1，存在x1属于|x-x0|<1，|f(x1)-f(x0)|>ε
同理，取δ=1/2，存在x2属于|x-x0|<1/2，|f(x2)-f(x0)|>ε
。。。
取δ=1/n，存在xn属于|x-x0|<1/n，|f(xn)-f(x0)|>ε
得到数列xn，由于xn为有界点列，不妨设其本身收敛，易证极限为x0，
故|[f(xn)-f(x0)]/[xn-x0]|>ε* n ->∞，当n->∞，与可导矛盾

Answer 2

对于一元函数, 可导必可微, 可微必可导
对于多元函数, 可微一定可导, 可导不一定可微

所以, 你写错了

Answer 3

这是在多元函数里面才成立的
在一元函数里面，可微和可导是等价的
在多元函数里面
例如f(x,y)=|x*y|^(1/2)就是可导的，但不可微

Answer 4

y = |x| 在 0 点处