Question

已知F(X)是定义在R上得奇函数且满足如下两个条件

已知F(X)是定义在R上得奇函数且满足如下两个条件1对于任意X,Y∈R，有F(X+Y)=F(X)+F(Y);2当X＞0时，F(X)＜0，且F(1)=-2
求函数F(X)在[-3,3]上得最大值和最小值；
试构造一个同时满足上述条件得函数F(X)。

Answer 1

由题意:F(0)=F(0)+F(0) 即F(0)=0
因为是定义在R上得奇函数 所以F(-X)=-F(X)
当X＞0时，F(X)＜0
故 当X<0时,F(X)=-F(-X)<0
所以F(X)在R上单调递减
F(X)在[-3,3]上最大值:F(-3),最小值:F(3)
F(3)=F(2)+F(1)=F(1)+F(1)+F(1)=-6
F(-3)=-F(3)=6
满足条件的函数:F(X)=-2X
新年快乐,很高兴为你解决问题!

Answer 2

由于F(X)是奇函数，且当X＞0时，F(X)＜0，所以当X<0时，F(X)>0，
令X=Y>0,则有F(2X)=2F(X)<0,那么当0<X1<X2时，F(X1)>F(X2)，说明F(x)是单调递减函数，F(X)在[-3,3]上的最大值是F(-3),最小值是F(3)
F(1)=2F(1/2)=-2,那么F(1/2)=-1,F(3/2)=F(1)+F(1/2)=-3,F(3)=2F(3/2)=-6
F(-3)=-F(3)=6
F(X)在[-3,3]上的最大值是6和最小值是-6

y=-2x满足上述条件

Answer 3

F(x)-F(y)=F(x)+F(-y)=F(x-y)
故若x>y,x-y>0,F(x-y)<0,F(x)-F(y)<0,F(x)为减函数
故F(3)为最小值，F(-3)为最大值
F(2)=F(1+1)=2F(1)=-4,F(3)=F(2+1)=F(2)+F(1)=-6
F(-3)=-F(3)=6
最小值为-6，最大值为6
F(x)=-2x

Answer 4

最大值为6 最小值为负6 F（x）＝－2x