Question

急急急~~高一数列高手请速进！！！！

此题为07淮坊3月的统考题

PS:请写出较详细的解题过程，谢谢啦~~~~

已知数列{An}的前n项和为Sn,首项为A1,而且，1，An,Sn成等差数列。

2个问题：

（1）求数列{An}的通项公式。

（2）设Tn为数列{An分之一}的前n 项和，若对于任意的n∈正整数，总有Tn小于3分之(m-4)成立，其中m∈正整数，求m的最小值？

Answer 1

(1)由题意:2An=1+Sn
n=1 ,A1=1
n>=2, 因为2An=1+Sn 所以2A(n-1)=1+S(n-1)
相减得:An=2A(n-1)
又 A2=2
所以 An=2^(n-1)
经检验:n=1也符合上式
所以数列{An}的通项公式:An=2^(n-1)
(2)数列{An分之一}的通项:Bn=(1/2)^(n-1)
Tn=2-(1/2)^(n-1)
由题意:Tn<(m-4)/3恒成立

所以:(m-4)/3>2-(1/2)^(n-1)
m>10-6/(2^n)

m最小值:7
新年快乐!

Answer 2

（1）2a(n)=1+S(n) (*)
S(n)=2a(n)-1
a(n)=S(n)-S(n-1)=2(a(n)-a(n-1))
a(n)=2a(n-1)——这是等比数列：
a(n)=a(1)q^(n-1), S(n)=a(1)(q^n-1)/(q-1)
由(*):2a(1)=1+S(1)=1+a(1), 所以 a(1)=1.
再代入(*): 2q^(n-1)=1+(q^n-1)/(q-1)
解得 q=2.
所以 a(n)=2^(n-1).

(2) T(n)=2[1-1/(2^n)]<(m-4)/3 (n=1,2,……)
则 m>10-6/(2^n)
因为 10-6/(2^n)<=10-6/2=7
所以 m 的最小值是 7。

Answer 3

1，An,Sn成等差数列=>1+S1=2A1=>A1=1
1，An,Sn成等差数列=>1+Sn=2An
1，An,Sn成等差数列=>1+S(n-1)=2A(n-1)
=>Sn-S(n-1)=2An-2A(n-1)=>An=2A(n-1)
An为等比数列，An=A1*2^(n-1)=2^(n-1)

Tn=1/1+1/2+1/4+……+1/2^(n-1)=1(1-1/2^n)/(1-1/2)=2-1/2^(n-1)
函数Tn在整数域上为递增函数，则Tn<2.
对于任意的n∈正整数，总有Tn小于3分之(m-4)成立.
=> 2<=(m-4)/3 m>=10
m最小值为10