Question

请教一道中考难题（几何），恳请各位帮忙解

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，⊙A交x轴于B、C两点，交y轴于D、E两点，过点D作⊙A的切线，切线交x轴于F点，连接BD。已知⊙A的半径是5，点A坐标为（3，0）

请问：若在弧BD上有一个动点P，在弧DC上有一个动点Q，使得∠POD=∠QOD，当点P运动时，点Q随之运动（保持∠POD=∠QOD），问乘积OP×OQ的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，请求出其变化的范围。

（已求出：D（0，4）、E（0，-4），且∠BDF=∠BDE）

请各位解答并列出解题过程
万分感激。

Answer 1

延长PO交圆于点G
因为∠POD=∠QOD，∠POD=∠EOG
所以∠QOD=∠EOG
由对称性，OQ=OG
作AH垂直于PG于点H,连接AP,AG
OP×OQ=OP×OG=(PH-OH）×（GH+OH)
=(√25-AH^2 -√9-AH^2)(√25-AH^2 +√9-AH^2)
=（25-AH^2)-(9-AH^2)
=16
所以乘积OP×OQ的值不发生变化，始终为16
PS:题目中的“过点D作⊙A的切线，切线交x轴于F点，连接BD”与问题无直接关系，可能是为降低难度，提示用相似三角形方法解。我暂时未想出，上述方法也很直接简便

Answer 2

AC=2根号10㎝（2倍根号10），AD：BD=4：1，