已知函数f(x)=loga1-mx/x-1(a>0,a≠1,m≠1)是奇函数,
已知函数f(x)=loga1-mx/x-1(a>0,a≠1,m≠1)是奇函数,(1)求m的值(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明(3)当x∈(n,a-2...
已知函数f(x)=loga1-mx/x-1(a>0,a≠1,m≠1)是奇函数,
(1)求m的值 (2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明
(3)当x∈(n,a-2)时,函数f(x)的值域(1,+∞)。求实数a与n的值。 展开
(1)求m的值 (2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并证明
(3)当x∈(n,a-2)时,函数f(x)的值域(1,+∞)。求实数a与n的值。 展开
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因为函数f(x)=loga(1-mx/x-1) (a>1.m不等 于1)是奇函数,所以m=-1即函数f(x)=loga[(1+x)/(x-1)] ,又因为函数g(x)=-ax2+8(x-1)af(x)次方-5=ax²+8(x-1)*a^{loga[(1+x)/(x-1)] }-5=ax²+8(1+x)-5,x>1或者x<-1,即g(x)=ax²+8x+3=a(x+4/a)²+3-16/a,当a≥8时,函数g(x)在(-1,+∞)上是增函数,因为对于a≥8,1≤x≤t时,-5≤g(x)≤5恒成立,即-5≤at²+8t+3≤5,所以-8/x²-8/x≤a≤2/x²-8/x,所以2-8(1/x+1/2)²≤a≤2(1/x-4)²-8,即2-8(1/x+1/2)²≤8,对于任意的1<x<t恒成立,当a≤2(1/x-4)²-8时,即1/x≥4-√[(a+8)/2],当a=8时,4-√[(a+8)/2]取得最大值,又因为4-√[(a+8)/2]>0,所以解得:a<24,当8≤a<24时,x≤1/(4-√[(a+8)/2])
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f(x)+f(-x)=0
loga1-mx/x-1+loga1+mx/(-x-1)=0
(1-mx)*(1+mx)/(x-1)(-x-1)=1
1-m^2x^2=1-x^2
(m^2-1)x^2=0
m1=1
m2=-1
m≠1
所以:
m=-1
f(x)=loga1+x/x-1
2
定义域:1+x/x-1>0
x>1或x<-1
1<x1<x2
f(x2)-f(x1)=loga(1+x2)*(x1-1)/(x2-1)(1+x1)
(1+x2)*(x1-1)-(x2-1)(1+x1)
=x1x2-x2+x1-1-(x1x2-x1+x2-1)
=-x2+x1-x2+x1=-2*(x2-x1)<0
所以:
(1+x2)*(x1-1)>(x2-1)(1+x1)>0
f(x2)-f(x1)=loga(1+x2)*(x1-1)/(x2-1)(1+x1)>loga1=0
所以x>1为增函数
由于为奇函数,x<-1也为增函数!
loga1-mx/x-1+loga1+mx/(-x-1)=0
(1-mx)*(1+mx)/(x-1)(-x-1)=1
1-m^2x^2=1-x^2
(m^2-1)x^2=0
m1=1
m2=-1
m≠1
所以:
m=-1
f(x)=loga1+x/x-1
2
定义域:1+x/x-1>0
x>1或x<-1
1<x1<x2
f(x2)-f(x1)=loga(1+x2)*(x1-1)/(x2-1)(1+x1)
(1+x2)*(x1-1)-(x2-1)(1+x1)
=x1x2-x2+x1-1-(x1x2-x1+x2-1)
=-x2+x1-x2+x1=-2*(x2-x1)<0
所以:
(1+x2)*(x1-1)>(x2-1)(1+x1)>0
f(x2)-f(x1)=loga(1+x2)*(x1-1)/(x2-1)(1+x1)>loga1=0
所以x>1为增函数
由于为奇函数,x<-1也为增函数!
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