Question

如图,角ABD=角ACD=60度,角ADB=90度-1/2角BDC.求证三角形ABC为等腰三角形

谢谢，要详细过程

Answer 1

一楼的应该把第一行的M换个字母，若改成N，以及倒数第三行及一下的M都相应换成N，证法也挺简单的。
二楼的四点共圆不大证得清楚，光由一对角相等条件还不够。

楼主若没学过相似可以用全等证明。（照我的辅助线作法与标注相同的字母）

辅助线：
过点D作FD垂直BD交BA的延长线于点F。
以AD为边在AD右侧作角EAD=角BAC交CD的延长线于点E

1.设角BCD=X，则角ADB=90-x/2，又由角ACD=60可得角CAD=30-x/2
2.由角BDF=90，角ADB=90-x/2，可得角ADF=x/2，再可得角BAD=30+x/2
3.由1，2得角BAC=x=角EAD
4.因为CDE为平角所以角ADE=90+x/2，连同3的结论可得角AED=90-x/2=角ADE
所以三角形ADE中，AD=AE

5.三角形ABD与三角形ACE中，
角BDA=角CEA=90-x/2
边AD=AE
角BAD=角CAE（由第二步辅助线所得）
两三角形全等，得出AB=AC

Answer 2

过点A做AM⊥BC
∠ABC=∠ACD，设AC与BD交与M，∠AMB=∠CMD，∠BAC=∠BDC，
△AMBer∽△DMC，AM：MD=BM：MC，AM：BM=MD：MC
∠AmD=∠BMC,△AMD∽△BMC,∠ADB=∠ACB，∠ADB=90-1/2∠BDC=90-1/2∠BAC，
∠ACB=90-1/2∠BDC=90-1/2∠BAC，在△AMC中，∠ACB=90-∠MAC
90-1/2∠BAC=90-∠MAC，∠BAC=2∠MAC，说明AM是角平分线而且是高
AB=AC
角ABD=角ACD
所以ABCD四点共圆
所以角ADB=角ACB
角BDC=角BAC
因为角ADB=90°-1/2角BDC
所以角ACB=90°-1/2角BAC
所以2*角ACB+角BAC=180°
又角ABC+角ACB+角BAC=180°
所以角ABC=角ACB
辅助线：
过点D作FD垂直BD交BA的延长线于点F。
以AD为边在AD右侧作角EAD=角BAC交CD的延长线于点E

1.设角BCD=X，则角ADB=90-x/2，又由角ACD=60可得角CAD=30-x/2
2.由角BDF=90，角ADB=90-x/2，可得角ADF=x/2，再可得角BAD=30+x/2
3.由1，2得角BAC=x=角EAD
4.因为CDE为平角所以角ADE=90+x/2，连同3的结论可得角AED=90-x/2=角ADE
所以三角形ADE中，AD=AE

5.三角形ABD与三角形ACE中，
角BDA=角CEA=90-x/2
边AD=AE
角BAD=角CAE（由第二步辅助线所得）
两三角形全等，得出AB=AC

Answer 3

不用那么麻烦啦……
角ABD=角ACD
所以ABCD四点共圆
所以角ADB=角ACB
角BDC=角BAC
因为角ADB=90°-1/2角BDC
所以角ACB=90°-1/2角BAC
所以2*角ACB+角BAC=180°
又角ABC+角ACB+角BAC=180°
所以角ABC=角ACB

居然有人说我四点共圆证得不清楚……
确实对小学生来说不清楚了点……

Answer 4

过点A做AM⊥BC
∠ABC=∠ACD，设AC与BD交与M，∠AMB=∠CMD，∠BAC=∠BDC，
△AMBer∽△DMC，AM：MD=BM：MC，AM：BM=MD：MC
∠AmD=∠BMC,△AMD∽△BMC,∠ADB=∠ACB，∠ADB=90-1/2∠BDC=90-1/2∠BAC，
∠ACB=90-1/2∠BDC=90-1/2∠BAC，在△AMC中，∠ACB=90-∠MAC
90-1/2∠BAC=90-∠MAC，∠BAC=2∠MAC，说明AM是角平分线而且是高
AB=AC