Question

已知关于x的二次函数f(x)=x^2+(2t-1)x+1-2t

已知关于x的二次函数f(x)=x^2+(2t-1)x+1-2t。
1 对于任意t∈R,方程f(x)=1必有实数根；
2 求证：f(x)=0在区间（－1，0）及（0，1／2）上各有一个实数根．
2若1/2<t<3/4, 求证：f(x)=0在区间（－1，0）及（0，1／2）上各有一个实数根．

Answer 1

1.
f(x)=1
x^2+(2t-1)x+1-2t=1
x^2+(2t-1)x-2t=0
△=(2t-1)^2+8t=(2t+1)^2≥0
则方程f(x)=1必有实数根
2.
1/2<t<3/4
f(-1)=1-2t+1+1-2t=3-4t>0
f(0)=1-2t<0
f(1/2)=1/4+t-1/2+1-2t=3/4-t>0

f(-1)*f(0)<0
由f(x)的图像是连续的曲线
可知至少存在一个-1<x<0,使f(x)=0

f(0)*f(1/2)<0
由f(x)的图像是连续的曲线
可知至少存在一个0<x<1/2,使f(x)=0

由于f(x)=0是二次方程 至多有两个实根

可知f(x)=0在区间(-1,0)及(0,1/2)上各有一个实数根

Answer 2

（1）由于f(x)=1可得x^2+(2t-1)x-2t=0
根据根判别式b^2-4ac=（2t+1）^2恒>=0。所以必有实根了。
（2）f（x）=0可得（x-1）*（x+2t）=-1
画图应该会的。。。