Question

几道概率论与数理统计问题

这几道是大题，对照书上的立体实在不会，麻烦各位高手了！

一、X概率f(x)={ A/根号(1-x平方) X绝对值≤1
{ 0 X绝对值≥1
求(1)系数A (2)X分布函数 （3） 在（-1，-1/2）上的概率

二、XY概率f(x,y)={Ae[-(x+3y)] x>0 y>0 中括号[-(x+3y)]是e的系数
{0 其他
求(1)系数A (2)边缘密度函数 (3)fx(x)fy(y)
(3)E(X)E(Y) (4）XY相互独立性

三、葡萄的重量服从正态分布N(500,16)，取10袋，求10袋重量平均数与500之差的绝对值小于2的概率

我知道很麻烦，希望各位大大辛苦点，我随后再跟上100的追分，感激不尽

Answer 1

一,
(1)∫(-1,1) f(x) dx = 1, 即
∫(-1,1) A/√(1-x^2) dx = 1
A*( arcsin1 - arcsin(-1) ) = 1
A=1/pi

(2)x<-1时, X分布函数F(x)=0, x>1时, F(x)=1
|x|<=1时,
F(x) = ∫(0,x) f(x) dx
=∫(-1,x) 1/pi/√(1-x^2) dx
=1/pi*( arcsinx - arcsin(-1) )
=arcsinx / pi + 1/2

(3)F(-1/2) = arcsin(-1/2) / pi + 1/2
=-1/6 + 1/2 =1/3

二,
(1)∫∫ f(x,y) dxdy = 1, 即
∫∫ Ae^(-x-3y) dxdy = 1
A∫(0,+∞) e^(-3y) dy∫(0,+∞) e^(-x) dx = 1
A * 1/3 * 1 = 1
A = 3

(2)
fx(x) = ∫(0,+∞) 3e^(-x-3y) dy = e^(-x)
fy(y) = ∫(0,+∞) 3e^(-x-3y) dx = 3e^(-3y)

(3)
E(X) =∫(0,+∞) xfx(x) dx
=∫(0,+∞) xe^(-x) dx
=-∫(0,+∞) x de^(-x)
=∫(0,+∞) e^(-x) dx = 1

E(Y) =∫(0,+∞) yfy(y) dy
=∫(0,+∞) 3ye^(-3y) dy
=-∫(0,+∞) y de^(-3y)
=∫(0,+∞) e^(-3y) dy = 1/3

(4)
f(x,y) = 3e^(-x-3y) = e^(-x) * 3e^(-3y) = fx(x) * fy(y)
所以XY相互独立.

三
设10袋重量平均数为x,则x ~ N(500, 1.6)
P(|x-500|<2)
= P(-2<x-500<2)
=p(x-500<2) - p(x-500<-2)
=p( (x-500)/√1.6 < 2/√1.6 ) - p( (x-500)/√1.6 < -2/√1.6 )
=Φ(2/√1.6) - Φ(-2/√1.6)
=Φ(1.5811) - Φ(-1.5811)
=88.61% (查数学用表, 或者用专门计算器)

Answer 2

1.本人所得结果和你一致，初步认为答案错误。
2.P(x>0)=1-P(x<=0)=1-C(4,0)*(1/3)^0*(1-1/3)^4=65/81
其中C(4,0)是指组合中4个选0个

Answer 3

由性质得
∫f(x)dx =1 积分区间（-∞，+∞）
所以
∫A/根号(1-x平方)=1 积分区间[-1,1]
则可知Aarcsinx=1,积分区间[-1,1]
则A=1/π

X的分布函数
Fx（X)=0 x<-1
Fx（X)=∫1/π(/根号(1-x平方))=1/πarcsinx -1<=x<=1
Fx（X)=1,x>1

在（-1，-1/2）上的概率
P(-1<x<-1/2）=Fx（-1/2)-Fx（-1)=-1/6+1/2=1/3

1.
由性质得
∫f(x，y)dxdy =1 积分区间（-∞，+∞）
则
∫Ae^[-(x+3y)]dxdy x∈(0 +∞），y∈（0，+∞）
则A/3e^（-x）e^(-3y) x∈(0 +∞），y∈（0，+∞）
则A=1

边缘分布：
fx(x)=∫e^[-(x+3y)]dy=1/3e^（-x）y积分区间（0，+无穷大）
fy(y)=∫e^[-(x+3y)]dx=e^（-3y）x积分区间（0，+无穷大）

E(X)=∫x*1/3e^（-x）dx=1/3 x积分区间（0，+无穷大）
E(Y)=∫y*e^（-3y）dy=1/9 y积分区间（0，+无穷大）

因为
f(x,y)=fx(x)fy(y)
所以XY相互独立

3.
设10袋的平均数为X'。则就求
P(|X'-500|<2)
葡萄的重量服从正态分布N(500,16)，取10袋
所以x'仍服从正态分布。且数学期望为500.
公差为16/10=1.6
P(|X'-500|<2)=P(-2<X'-500<2)
=P(-2/1.6<(X'-500)/1.6<2/1.6)
=2Φ(5/4)-1
查表可求得值

对于上面的计算说明一下：
已知x1,x2,x3....xn服从正态分布，N(μ σ^2)
那么（x1+x2+x3+...xm）/m服从的分布为N(μ σ^2/m)
即
E[（x1+x2+x3+...xm）/m]=μ
D[（x1+x2+x3+...xm）/m]=σ^2/m
应该明白吧。

Answer 4

是挺麻烦的

Answer 5

看都看不懂