Question

一道初三上学期数学期末考试题

锐角三角形ABC中,BC=6,三角形ANC的面积为12,两动点M,N分别在AB,AC上滑动,且MN平行于BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPWN与三角形ABC公共部分的面积为y(y>0),当PQ在三角形ABC外部时,求y关于x的函数关系式(注明x的取值范围),并求出x为何值时y最大,最大值是多少?

Answer 1

锐角三角形ABC中,BC=6,三角形ABC的面积为12,两动点M,N分别在AB,AC上滑动,且MN‖BC,以MN为边向下作正方形MPQN,设其边长为x,正方形MPQN与三角形ABC公共部分的面积为y(y>0),当PQ在三角形ABC外部时,求y关于x的函数关系式(注明x的取值范围),并求出x为何值时y最大,最大值是多少?

解：题目中条件作了修改。因为A、N、C三点共线，不能构成△。

过A作AD⊥BC，垂足为D，交MN于E

因为△ABC的面积为12，BC＝6

故：AD＝4

因为MN‖BC

故：△AMN∽△ABC

故：AE/AD=MN/BC

又：BC＝6，MN＝x

故：AE＝2/3x

故：DE＝AD－AE＝4-2/3x

故：y=MN•DE=x(4-2/3x)

故：y=4x-2/3x² (0＜x＜6）

即：y=-2/3(x-3) ² +6

故：x=3时，y有最大值，且最大值为6

Answer 2

先说明有二点错误:
1.三角形ABC的面积为12
2.正方形MPQN与三角形ABC公共部分

标准答案:
设BC分别交MP,NQ于E,F,AD交MN于G.(AD是三角形ABC的高),计算得AD=4.
则四边形MEFN为长方形,设ME=NF=h,则AG=AD-h=4-h.
因为MN//BC,故三角形AMN相似于三角形ABC.
所以,MN/BC=AG/AD
可得:h=-2/3x+4.
所以,y=MN*NF=-2/3x^2+4x,(2.4<x<6)
当x=-b/2a=-4/(-4/3)=3时,y有最大值,最大值是6.

不明白的地方再找我.

Answer 3

应该是ABC的面积是12
用到三角形的相似的变形 是bc/mn=ad/ae ad是大三角形的高 ae是小三角形的高 因为大三角形的高是4 可以求出小三角形AMN的高的值 （4-ae）*X=y 然后用-b/2a为X就可以求出最大值

Answer 4

A,N,C三点共线，题目错误。